(**) Uma bala de aço de massa m=5,2 g é disparada verticalmente para baixo de uma altura h_{1}=18 \mathrm{~m} com uma velocidade inicial v_{0}=14 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A bala penetra no solo arenoso até uma profundidade h_{2}=21 \mathrm{~cm}.
(a) Qual a variação da energia mecânica da bala?
R: -1,44 \mathrm{~J}
(b) Qual a variação da energia interna do sistema bala-Terra-areia?
R: 1,44 \mathrm{~J}
(c) Qual o módulo da força média F exercida pela areia sobre a bala?
R: 6,9 \mathrm{~N}

Passo 1

O enunciado trata de uma bala de aço de massa (m=5{,}2\text{ g}=0{,}0052\text{ kg}) disparada verticalmente para baixo a partir de uma altura (h_{1}=18\text{ m}) com velocidade inicial (v_{0}=14\text{ m/s}). A bala penetra no solo arenoso até uma profundidade (h_{2}=0{,}21\text{ m}). Vamos calcular:
  1. A variação da energia mecânica da bala.
  2. A variação da energia interna do sistema bala–Terra–areia.
  3. O módulo da força média exercida pela areia.

Passo 2

Para a variação da energia mecânica \Delta E_{\rm mec} escolhemos como referência de energia potencial o ponto final (velocidade zero, profundidade h_{2}), de modo que:
E_{\rm i}=m\,g\,(h_{1}+h_{2})+\tfrac12\,m\,v_{0}^{2},
E_{\rm f}=0.
Logo,
\Delta E_{\rm mec}=E_{\rm f}-E_{\rm i} =-\Bigl[m\,g\,(h_{1}+h_{2})+\tfrac12\,m\,v_{0}^{2}\Bigr].
Substituindo valores ( g=9{,}8\text{ m/s}^2):
m\,g\,(h_{1}+h_{2}) =0{,}0052\cdot9{,}8\cdot(18+0{,}21) \approx0{,}928\text{ J},
\tfrac12\,m\,v_{0}^{2} =0{,}5\cdot0{,}0052\cdot14^{2} \approx0{,}510\text{ J},
\Delta E_{\rm mec}\approx- (0{,}928+0{,}510)\text{ J} =-1{,}44\text{ J}.

Passo 3

Pela conservação da energia, a perda de energia mecânica vira calor e deformação (energia interna) no sistema bala–Terra–areia. Assim,
\Delta U=-\Delta E_{\rm mec}=1{,}44\text{ J}.

Passo 4

O trabalho da força média de reação da areia F na penetração h_{2} equivale à energia interna ganha:
F\,h_{2}=\Delta U \quad\Longrightarrow\quad F=\frac{\Delta U}{h_{2}} =\frac{1{,}44}{0{,}21}\approx6{,}9\text{ N}.

Resposta

(a) \Delta E_{\rm mec}=-1{,}44\text{ J}.
(b) \Delta U=1{,}44\text{ J}.
(c) F\approx6{,}9\text{ N}.

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