Uma bala de canhão é dispara com velocidade inicial \mathrm{v}_{0}, fazendo ângulo de 30^{\circ} acima com a horizontal. O canhão se encontra em uma plataforma a 50 m do solo. Sabendo que o tempo que o projétil chegou ao solo foi de 1,4 \cdot v_{0}. Determine o valor de v_{0}, tempo total, altura máxima e o seu alcance horizontal.

Passo 1

O enunciado trata de um lançamento oblíquo de um projétil partindo de uma plataforma a 50 m de altura, com velocidade inicial v_{0} e ângulo \alpha=30^\circ. Foi dado que o tempo total de voo até o solo é T=1,4\,v_{0}. Vamos usar a decomposição da velocidade em v_{0x}=v_{0}\cos\alpha e v_{0y}=v_{0}\sin\alpha e a equação do movimento vertical para determinar v_{0}, depois calcular T, a altura máxima e o alcance horizontal.

Passo 2

Escrevendo a equação do deslocamento vertical, com referência ao solo (origem em y=0):
y(t)=y_{0}+v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2},
onde y_{0}=50 m, v_{0y}=v_{0}\sin(30^\circ)=\tfrac{v_{0}}{2} e g=9{,}8 m/s ^2. No instante em que chega ao solo, y(T)=0, logo
0=50+\frac{v_{0}}{2}\,T-\frac{1}{2}\,9{,}8\,T^{2}.

Passo 3

Substituímos T=1,4\,v_{0} na equação acima:
0=50+\frac{v_{0}}{2}\,(1,4\,v_{0})-\tfrac{1}{2}\,9{,}8\,(1,4\,v_{0})^{2} \;\Longrightarrow\; 0=50+0,7\,v_{0}^{2}-4,9\,(1{,}96)\,v_{0}^{2}
0=50+0,7\,v_{0}^{2}-9,604\,v_{0}^{2} \;\Longrightarrow\; 9,604\,v_{0}^{2}-0,7\,v_{0}^{2}=50 \;\Longrightarrow\; 8,904\,v_{0}^{2}=50
v_{0}^{2}=\frac{50}{8,904}\approx5{,}615 \;\Longrightarrow\; v_{0}\approx\sqrt{5{,}615}\approx2{,}37\text{ m/s}.

Passo 4

O tempo total de voo é
T=1,4\,v_{0}\approx1,4\times2{,}37\approx3{,}32\text{ s}.

Passo 5

A altura máxima acima do solo ocorre em t=T_{\mathrm{pico}}=v_{0y}/g, mas podemos usar a fórmula direta para o acréscimo de altura acima de y_{0}:
\Delta H=\frac{v_{0y}^{2}}{2g} =\frac{\bigl(\tfrac{v_{0}}{2}\bigr)^{2}}{2\cdot9{,}8} =\frac{v_{0}^{2}}{8\cdot9{,}8} \approx\frac{5{,}615}{78{,}4}\approx0{,}0716\text{ m}.
Logo, a altura máxima em relação ao solo é
H_{\max}=50+\Delta H\approx50+0{,}0716\approx50{,}07\text{ m}.

Passo 6

O alcance horizontal é dado por
x_{\max}=v_{0x}\,T \quad\text{com}\quad v_{0x}=v_{0}\cos(30^\circ)=v_{0}\,\frac{\sqrt{3}}{2}\approx2{,}37\times0{,}866\approx2{,}05\text{ m/s}.
Portanto
x_{\max}\approx2{,}05\times3{,}32\approx6{,}82\text{ m}.

Resposta

v_{0}\approx2{,}37\text{ m/s} T\approx3{,}32\text{ s} H_{\max}\approx50{,}07\text{ m} x_{\max}\approx6{,}82\text{ m}

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