O ponteiro dos minutos de um relógio de parede tem um comprimento de 60 cm e o das horas tem comprimento de 0,5 \mathrm{~m}. Suponha que o centro dos ponteiros é a origem da sua escala, onde o eixo X compreende a direção do centro da escala para a marcação de 3 horas e o eixo Y a direção do centro para a marcação de 12 horas. Usando os versores (vetores unitários) \hat{i} e \hat{j}, expresse os valores dos vetores posição da ponta do ponteiro da hora, que será chamado de vetor \vec{H}, e do ponteiro do minuto, que será chamado de vetor \vec{M}, para os seguintes casos:
a) Quando o relógio marca 12:00.
b) Quando o relógio marca 15:30.
c) Quando o relógio marca 10:15.
d) Quando o relógio marca 05:00.
e) Quando o relógio marca 12:30.
f) Determine o vetor deslocamento dos ponteiros da hora e do minuto, ou seja, e , quando o relógio desloca de 12:00 para 15:30.

Passo 1

O relógio tem centro na origem, o eixo \hat i aponta para as 3 h e o eixo \hat j para as 12 h. O ponteiro dos minutos tem comprimento 60 cm, que escrevemos como 0,6 m, e o das horas tem 0,5 m. Precisamos expressar em cada instante os vetores \vec M (minutos) e \vec H (horas) em função de \hat i e \hat j.

Passo 2

Cada ponteiro, de comprimento L, forma um ângulo \varphi contado a partir da vertical positiva (12 h), no sentido horário.
Para os minutos
\phi_M = 6^\circ \times m,
e para a hora
\phi_H = 30^\circ \times h \;+\;0{,}5^\circ \times m,
onde h é a hora (no formato 12 h) e m os minutos. O vetor posição vale
\vec v \;=\; L\bigl(\sin\varphi\,\hat i + \cos\varphi\,\hat j\bigr).

Passo 3

a) Em 12:00 temos h=0, m=0 \phi_M=\phi_H=0^\circ.
\vec M = 0,6\,(\sin0^\circ\,\hat i+\cos0^\circ\,\hat j)=0,6\,\hat j,
\vec H = 0,5\,\hat j.

Passo 4

b) Em 15:30 (3:30 pm) temos h=3, m=30 \phi_M=180^\circ, \phi_H=30^\circ\cdot3+0{,}5^\circ\cdot30=105^\circ.
\vec M = 0,6\,(\sin180^\circ\,\hat i+\cos180^\circ\,\hat j)=-0,6\,\hat j,
\vec H = 0,5\bigl(\sin105^\circ\,\hat i+\cos105^\circ\,\hat j\bigr).
Como \sin105^\circ=\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} e \cos105^\circ=\tfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}, segue
\vec H = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{8}\,\hat i \;+\;\frac{\sqrt2-\sqrt6}{8}\,\hat j.

Passo 5

c) Em 10:15, h=10, m=15 \phi_M=6^\circ\cdot15=90^\circ, \phi_H=30^\circ\cdot10+0{,}5^\circ\cdot15=307{,}5^\circ.
\vec M = 0,6\,\hat i,
\vec H = 0,5\bigl(\sin307{,}5^\circ\,\hat i+\cos307{,}5^\circ\,\hat j\bigr).

Passo 6

d) Em 05:00, h=5, m=0 \phi_M=0^\circ, \phi_H=150^\circ.
\vec M = 0,6\,\hat j,
\vec H = 0,5\bigl(\sin150^\circ\,\hat i+\cos150^\circ\,\hat j\bigr) =0,25\,\hat i - \frac{\sqrt3}{4}\,\hat j.
e) Em 12:30, h=0, m=30 \phi_M=180^\circ, \phi_H=15^\circ.
\vec M = -0,6\,\hat j,
\vec H = 0,5\bigl(\sin15^\circ\,\hat i+\cos15^\circ\,\hat j\bigr) =0,5\Bigl(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\hat i+\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\hat j\Bigr).

Passo 7

f) Deslocamento de 12:00 para 15:30:
\Delta\vec M = \vec M(15{:}30)-\vec M(12{:}00) = (-0,6\,\hat j) - (0,6\,\hat j) = -1,2\,\hat j,
\Delta\vec H = \vec H(15{:}30)-\vec H(12{:}00) =\Bigl(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{8}\,\hat i+\frac{\sqrt2-\sqrt6}{8}\,\hat j\Bigr) - (0,5\,\hat j)
\phantom{\Delta\vec H} =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{8}\,\hat i +\Bigl(\frac{\sqrt2-\sqrt6}{8}-\frac12\Bigr)\hat j =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{8}\,\hat i +\frac{\sqrt2-\sqrt6-4}{8}\,\hat j.

Resposta

a) \vec H=0,5\,\hat j,\;\vec M=0,6\,\hat j.
b) \vec H=\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{8}\,\hat i+\tfrac{\sqrt2-\sqrt6}{8}\,\hat j,\;\vec M=-0,6\,\hat j.
c) \vec H=0,5(\sin307{,}5^\circ\,\hat i+\cos307{,}5^\circ\,\hat j),\;\vec M=0,6\,\hat i.
d) \vec H=0,25\,\hat i-\tfrac{\sqrt3}{4}\,\hat j,\;\vec M=0,6\,\hat j.
e) \vec H=0,5\bigl(\tfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\hat i+\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\hat j\bigr),\;\vec M=-0,6\,\hat j.
f) \Delta\vec H=\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{8}\,\hat i+\tfrac{\sqrt2-\sqrt6-4}{8}\,\hat j,\;\Delta\vec M=-1,2\,\hat j.

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