Uma partícula tem uma aceleração constante de \vec{a}=3,5 \hat{i}+5,5 \hat{j}. Todas as unidades estão no sistema internacional. No tempo \mathrm{t}=0 a partícula está em repouso e o seu vetor posição é \overrightarrow{r_{0}}=-5 \hat{i}. Determine:
a) Determine o vetor velocidade instantânea como função do tempo.
b) Determine o vetor posição como função do tempo.
c) Qual a posição, velocidade e aceleração da partícula no tempo \mathrm{t}=5 \mathrm{~s}.
d) Qual a velocidade média entre os tempos 1 e 6 s.

Passo 1

O enunciado trata de cinemática vetorial com aceleração constante. Temos \displaystyle \vec a = 3,5\,\hat i + 5,5\,\hat j
e em t=0 a partícula está em repouso \vec v_{0}=\vec0 com posição inicial \displaystyle \overrightarrow{r_{0}}=-5\,\hat i.
Para resolver vamos usar que \vec v(t)=\vec v_{0}+\int_{0}^{t}\!\vec a\,dt
e \vec r(t)=\overrightarrow{r_{0}}+\int_{0}^{t}\!\vec v(t')\,dt'.

Passo 2

Integramos a aceleração para obter a velocidade. Como \vec v_{0}=\vec0,
\vec v(t)=\vec0+\vec a\,t =3,5\,t\,\hat i+5,5\,t\,\hat j.

Passo 3

Agora integramos \vec v(t) para achar \vec r(t).
\vec r(t) =\bigl(-5\,\hat i\bigr) +\int_{0}^{t}\bigl(3,5\,t'\,\hat i+5,5\,t'\,\hat j\bigr)\,dt' =(-5+1,75\,t^{2})\,\hat i\;+\;2,75\,t^{2}\,\hat j.

Passo 4

Em t=5\:\mathrm{s}:
- Velocidade:
\vec v(5) =3,5\cdot5\,\hat i+5,5\cdot5\,\hat j =17,5\,\hat i+27,5\,\hat j\quad(\mathrm{m/s}).
- Posição:
\vec r(5) =(-5+1,75\cdot25)\,\hat i+2,75\cdot25\,\hat j =38,75\,\hat i+68,75\,\hat j\quad(\mathrm{m}).
- Aceleração (é constante):
\vec a=3,5\,\hat i+5,5\,\hat j\quad(\mathrm{m/s^{2}}).

Passo 5

Velocidade média entre t_{1}=1\:\mathrm{s} e t_{2}=6\:\mathrm{s}:
\vec v_{\mathrm{média}} =\frac{\vec r(6)-\vec r(1)}{6-1} =\frac{\bigl[(-5+1,75\cdot36)\,\hat i+2,75\cdot36\,\hat j\bigr] -\bigl[(-5+1,75\cdot1)\,\hat i+2,75\cdot1\,\hat j\bigr]}{5} =12,25\,\hat i+19,25\,\hat j\quad(\mathrm{m/s}).é

Resposta

a) \displaystyle \vec v(t)=3,5\,t\,\hat i+5,5\,t\,\hat j.
b) \displaystyle \vec r(t)=(-5+1,75\,t^{2})\,\hat i+2,75\,t^{2}\,\hat j.
c) Em t=5\:\mathrm{s}: \vec r(5)=38,75\,\hat i+68,75\,\hat j m; \vec v(5)=17,5\,\hat i+27,5\,\hat j m/s; \vec a=3,5\,\hat i+5,5\,\hat j m/ s^{2}.
d) \displaystyle \vec v_{\mathrm{média}}=12,25\,\hat i+19,25\,\hat jé m/s.

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