Uma bala de uma determinada arma de guerra foi modelada por um engenheiro e limitada pelo plano xy e pela superfície z=2-4 x^2-4 y^2. Como a quantidade desta munição a ser produzida era muito elevada, precisavam saber o volume de cada bala. Calcule esse volume.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície
z = 2 - 4x^2 - 4y^2
e pelo plano z=0. O conteúdo aqui é cálculo de volume por meio de integral dupla sobre a projeção no plano xy. Vamos usar coordenadas polares para simplificar, pois a projeção é um disco.

Passo 2

Encontramos a região de integração projetando onde z>=0:
2 - 4x^2 - 4y^2 >= 0 Longrightarrow x^2 + y^2 <= tfrac12
Logo, na forma polar, r varia de 0 a 1/raiz2 e theta de 0 a 2pi.

Passo 3

Na coordenadas polares temos x = rcostheta, y = rsintheta e o elemento de área dA = r,dr,dtheta. A função vale z = 2 - 4r^2. Assim o volume é
V = integral duplax^2+y^2<=1/2 l(2 - 4r^2r),dA = integraltheta=0^2piintegralr=0^1/raiz2 l(2 - 4r^2r),r,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^1/raiz2 (2r - 4r^3),dr = l[r^2 - r^4r]0^1/raiz2 = l(tfrac12 - tfrac14r) = tfrac14

Passo 5

Agora integramos em theta:
V = integral0^2pi tfrac14,dtheta = tfrac14cdot 2pi = tfracpi2

Resposta

O volume da bala é tfracpi2 unidades cúbicas.

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