4.1 Uma partícula está em equilíbrio sob a ação de três forças,
e
. Mostre que
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula sob a ação de três forças
em equilíbrio. Foi dada também a definição:
é o ângulo entre
e
.
O que pedem: mostrar que
O que pedem: mostrar que
Informações relevantes listadas:
- As três forças atuam na mesma partícula e a partícula está em equilíbrio.
- Os ângulos
são os ângulos entre os pares de vetores correspondentes (por exemplo, é o ângulo entre e ). - O objetivo é relacionar as magnitudes
usando seno dos ângulos definidos.
Passo 2
Equilíbrio significa que a soma vetorial das três forças é o vetor nulo. Vou escrever essa relação vetorial e explicar o que ela implica:
Isso quer dizer que, se colocarmos os vetores cabeça a cauda, eles fecham um triângulo (o extremo final volta para o ponto inicial). Em particular, podemos reescrever
Tomando normas (comprimentos) dos vetores, obtemos a igualdade entre os comprimentos dos lados de um triângulo cujos lados são os vetores
e
:
- um lado tem comprimento
, - outro lado tem comprimento
, - o terceiro lado tem comprimento
.
Passo 3
Agora vou relacionar a geometria desse triângulo com os ângulos
dados. Primeiro faço um cálculo usando produto escalar (essa é a forma mais direta e rigorosa de ver qual é o ângulo interno do triângulo em função de
). Calculo a norma ao quadrado do lado
:
Pelo fato de
, isto vira
Mas
. Portanto
Passo 4
Interpretação geométrica: a fórmula acima tem a forma próxima da lei dos cossenos num triângulo. A lei dos cossenos para um triângulo com lados
e ângulo
oposto ao lado
é
Compare com a identidade obtida no passo anterior, tomando
,
,
. Igualando as expressões, temos
e também
Comparando os termos em
obtemos
Isto implica
Ou seja: o ângulo interno do triângulo oposto ao lado de comprimento
é
. (Essa relação é natural: quando dois vetores são colocados em sequência, o ângulo interno do triângulo formado é o suplementar do ângulo entre eles quando colocados com as caudas juntas.)
Passo 5
Raciocínio análogo para os outros lados: o ângulo do triângulo oposto a
é
e o ângulo oposto a
é
. Note que a função seno tem a propriedade
logo
Passo 6
Agora uso a lei dos senos num triângulo qualquer: se um triângulo tem lados
e ângulos opostos
, então
Aplicando ao nosso triângulo cujos lados têm comprimentos
e usando as igualdades de senos do passo anterior, obtemos exatamente