4.1 Uma partícula está em equilíbrio sob a ação de três forças, \mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2} e \mathbf{F}_{3}. Mostre que
\frac{\left|\mathbf{F}_{1}\right|}{\operatorname{sen}\left(\theta_{23}\right)}=\frac{\left|\mathbf{F}_{2}\right|}{\operatorname{sen}\left(\theta_{31}\right)}=\frac{\left|\mathbf{F}_{3}\right|}{\operatorname{sen}\left(\theta_{12}\right)}
onde \theta_{\mathrm{ij}} é o ângulo entre \mathbf{F}_{1} e \mathbf{F}_{\mathrm{j}}.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula sob a ação de três forças \mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}, \mathbf{F}_{3} em equilíbrio. Foi dada também a definição: \theta_{ij} é o ângulo entre \mathbf{F}_{i} e \mathbf{F}_{j}.
O que pedem: mostrar que
\frac{\left|\mathbf{F}_{1}\right|}{\operatorname{sen}\left(\theta_{23}\right)}=\frac{\left|\mathbf{F}_{2}\right|}{\operatorname{sen}\left(\theta_{31}\right)}=\frac{\left|\mathbf{F}_{3}\right|}{\operatorname{sen}\left(\theta_{12}\right)}.
Informações relevantes listadas:
  • As três forças atuam na mesma partícula e a partícula está em equilíbrio.
  • Os ângulos \theta_{23},\theta_{31},\theta_{12} são os ângulos entre os pares de vetores correspondentes (por exemplo, \theta_{23} é o ângulo entre \mathbf{F}_{2} e \mathbf{F}_{3}).
  • O objetivo é relacionar as magnitudes \left|\mathbf{F}_i\right| usando seno dos ângulos definidos.

Passo 2

Equilíbrio significa que a soma vetorial das três forças é o vetor nulo. Vou escrever essa relação vetorial e explicar o que ela implica:
\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}+\mathbf{F}_{3}=\mathbf{0}.
Isso quer dizer que, se colocarmos os vetores cabeça a cauda, eles fecham um triângulo (o extremo final volta para o ponto inicial). Em particular, podemos reescrever
\mathbf{F}_{2}+\mathbf{F}_{3}=-\mathbf{F}_{1}.
Tomando normas (comprimentos) dos vetores, obtemos a igualdade entre os comprimentos dos lados de um triângulo cujos lados são os vetores \mathbf{F}_{2},\mathbf{F}_{3} e -\mathbf{F}_{1}:
  • um lado tem comprimento \left|\mathbf{F}_{2}\right|,
  • outro lado tem comprimento \left|\mathbf{F}_{3}\right|,
  • o terceiro lado tem comprimento \left|-\mathbf{F}_{1}\right|=\left|\mathbf{F}_{1}\right|.

Passo 3

Agora vou relacionar a geometria desse triângulo com os ângulos \theta_{ij} dados. Primeiro faço um cálculo usando produto escalar (essa é a forma mais direta e rigorosa de ver qual é o ângulo interno do triângulo em função de \theta_{23}). Calculo a norma ao quadrado do lado \mathbf{F}_{2}+\mathbf{F}_{3}:
\left|\mathbf{F}_{2}+\mathbf{F}_{3}\right|^{2}=\left|\mathbf{F}_{2}\right|^{2}+\left|\mathbf{F}_{3}\right|^{2}+2\,\mathbf{F}_{2}\cdot\mathbf{F}_{3}.
Pelo fato de \mathbf{F}_{2}\cdot\mathbf{F}_{3}=\left|\mathbf{F}_{2}\right|\left|\mathbf{F}_{3}\right|\cos\left(\theta_{23}\right), isto vira
\left|\mathbf{F}_{2}+\mathbf{F}_{3}\right|^{2}=\left|\mathbf{F}_{2}\right|^{2}+\left|\mathbf{F}_{3}\right|^{2}+2\left|\mathbf{F}_{2}\right|\left|\mathbf{F}_{3}\right|\cos\left(\theta_{23}\right).
Mas \left|\mathbf{F}_{2}+\mathbf{F}_{3}\right|=\left|-\mathbf{F}_{1}\right|=\left|\mathbf{F}_{1}\right|. Portanto
\left|\mathbf{F}_{1}\right|^{2}=\left|\mathbf{F}_{2}\right|^{2}+\left|\mathbf{F}_{3}\right|^{2}+2\left|\mathbf{F}_{2}\right|\left|\mathbf{F}_{3}\right|\cos\left(\theta_{23}\right).

Passo 4

Interpretação geométrica: a fórmula acima tem a forma próxima da lei dos cossenos num triângulo. A lei dos cossenos para um triângulo com lados a,b,c e ângulo A oposto ao lado a é
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A).
Compare com a identidade obtida no passo anterior, tomando a=\left|\mathbf{F}_{1}\right|, b=\left|\mathbf{F}_{2}\right|, c=\left|\mathbf{F}_{3}\right|. Igualando as expressões, temos
\left|\mathbf{F}_{1}\right|^{2}=\left|\mathbf{F}_{2}\right|^{2}+\left|\mathbf{F}_{3}\right|^{2}-2\left|\mathbf{F}_{2}\right|\left|\mathbf{F}_{3}\right|\cos(A)
e também
\left|\mathbf{F}_{1}\right|^{2}=\left|\mathbf{F}_{2}\right|^{2}+\left|\mathbf{F}_{3}\right|^{2}+2\left|\mathbf{F}_{2}\right|\left|\mathbf{F}_{3}\right|\cos\left(\theta_{23}\right).
Comparando os termos em 2\left|\mathbf{F}_{2}\right|\left|\mathbf{F}_{3}\right| obtemos
- \cos(A)=\cos\left(\theta_{23}\right)\quad\Rightarrow\quad \cos(A)=-\cos\left(\theta_{23}\right).
Isto implica
A=\pi-\theta_{23}.
Ou seja: o ângulo interno do triângulo oposto ao lado de comprimento \left|\mathbf{F}_{1}\right| é A=\pi-\theta_{23}. (Essa relação é natural: quando dois vetores são colocados em sequência, o ângulo interno do triângulo formado é o suplementar do ângulo entre eles quando colocados com as caudas juntas.)

Passo 5

Raciocínio análogo para os outros lados: o ângulo do triângulo oposto a \left|\mathbf{F}_{2}\right| é B=\pi-\theta_{31} e o ângulo oposto a \left|\mathbf{F}_{3}\right| é C=\pi-\theta_{12}. Note que a função seno tem a propriedade
\operatorname{sen}(\pi-x)=\operatorname{sen}(x),
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\operatorname{sen}(A)=\operatorname{sen}\left(\theta_{23}\right),\qquad \operatorname{sen}(B)=\operatorname{sen}\left(\theta_{31}\right),\qquad \operatorname{sen}\text{(C)}=\operatorname{sen}\left(\theta_{12}\right).

Passo 6

Agora uso a lei dos senos num triângulo qualquer: se um triângulo tem lados a,b,c e ângulos opostos A,B,C, então
\frac{a}{\operatorname{sen}(A)}=\frac{b}{\operatorname{sen}(B)}=\frac{c}{\operatorname{sen}\text{(C)}}.
Aplicando ao nosso triângulo cujos lados têm comprimentos \left|\mathbf{F}_{1}\right|,\left|\mathbf{F}_{2}\right|,\left|\mathbf{F}_{3}\right| e usando as igualdades de senos do passo anterior, obtemos exatamente
\frac{\left|\mathbf{F}_{1}\right|}{\operatorname{sen}\left(\theta_{23}\right)}=\frac{\left|\mathbf{F}_{2}\right|}{\operatorname{sen}\left(\theta_{31}\right)}=\frac{\left|\mathbf{F}_{3}\right|}{\operatorname{sen}\left(\theta_{12}\right)}.

Resposta

\frac{\left|\mathbf{F}_{1}\right|}{\operatorname{sen}\left(\theta_{23}\right)}=\frac{\left|\mathbf{F}_{2}\right|}{\operatorname{sen}\left(\theta_{31}\right)}=\frac{\left|\mathbf{F}_{3}\right|}{\operatorname{sen}\left(\theta_{12}\right)}

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