Uma bala de massa igual a
é disparada horizontalmente para dentro de um bloco de madeira de
em repouso sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é de 0,2. A bala pára no bloco, que desliza exatamente para frente por
(sem rotação). (a) qual a velocidade do bloco imediatamente após a bala parar em relação a ele? (b) Com que velocidade a bala foi disparada? (Resp.: (a) 2,7 m/s (b) 1442,7 m/s)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bala de 4,5 g que é disparada horizontalmente e fica presa em um bloco de madeira que pesa 2,4 kg, que estava parado sobre uma superfície. Sabemos também que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é 0,2. Quando a bala para no bloco, eles juntos deslizam 1,8 metros para frente sem rodar.
Conteúdo da matéria: Vamos usar princípios de conservação de momento linear e leis do movimento com atrito para resolver essa questão.
O que vamos precisar:
- Conservação de momento linear para encontrar a velocidade imediatamente após a bala parar no bloco.
- Força de atrito e equações do movimento para determinar a velocidade inicial da bala.
Passo 2
Vamos resolver a parte (a) primeiro: Qual a velocidade do bloco imediatamente após a bala parar em relação a ele?
Aqui, usamos a conservação do momento linear. A ideia é que o momento total antes do choque é igual ao momento total depois do choque, pois não há forças externas horizontais atuando durante o impacto.
Fórmula da conservação do momento linear:
Como o bloco está inicialmente em repouso, $ v_{bloco} = 0 $. Queremos encontrar $ v_{final} $.
Passo 3
Mas, espera aí! Na verdade, na parte (a), já nos dizem que a bala para no bloco e queremos saber a velocidade imediatamente após isso. Vamos simplificar:
Após o impacto, a bala e o bloco se movem juntos com uma velocidade $ v_{final} $. Então, aplicamos a fórmula simplificada:
Convertendo as massas para kg:
- $ m_{bala} = 4,5 g = 0,0045 kg $
- $ m_{bloco} = 2,4 kg $
Agora, rearranjamos para encontrar $ v_{final} $:
Passo 4
Mas peraí, aí a gente precisa saber $ v_{bala} $, que é justamente o que a parte (b) vai pedir. Então, vamos resolver a parte (b) primeiro para obter essa velocidade inicial.
Passo 5
Parte (b): Com que velocidade a bala foi disparada?
Aqui, usamos a lei do movimento com atrito. Depois que a bala para no bloco, eles juntos deslizam 1,8 metros até parar devido ao atrito.
A força de atrito $ F_{atrito} $ é dada por:
Onde:
- $ \mu = 0,2 $ é o coeficiente de atrito cinético.
- $ N $ é a força normal. Como não há movimento vertical, $ N = (m_{bala} + m_{bloco}) \cdot g $, onde $ g = 9,8 m/s² $ é a aceleração da gravidade.
A força de atrito causa uma aceleração negativa que para o movimento. Usamos a equação do movimento:
Como o bloco para, $ v = 0 $, e a aceleração $ a = -\frac{F_{atrito}}{m_{total}} $.
Rearranjando para encontrar a velocidade inicial $ v_{initial} $:
Passo 6
Vamos calcular passo a passo:
- Calculando a força de atrito:
- Calculando a aceleração:
- Calculando a velocidade inicial após o impacto:
Usamos:
Como $ v_{final} = 0 $:
Arredondando, temos $ v_{final} \approx 2,7 m/s $ imediatamente após o impacto.
Passo 7
Agora que sabemos que a velocidade do bloco imediatamente após o impacto é 2,7 m/s, podemos voltar à parte (b) e encontrar a velocidade inicial da bala.
Rearranjando a fórmula da conservação do momento:
Queremos $ v_{bala} $:
Substituindo os valores:
Arredondando, a velocidade da bala é aproximadamente 1442,7 m/s.
Resposta
(a) A velocidade do bloco imediatamente após a bala parar é 2,7 m/s.
(b) A velocidade com que a bala foi disparada é aproximadamente 1442,7 m/s.