Um recipiente, feito de um determinado tipo de metal X, possui massa de 3.6 kg e contém 14 kg de água. Ambos estão à 16^circ C. Um pedaço de 1.8 kg , feito deste mesmo metal X , à 180^circ C, é adicionado ao recipiente. O sistema (reservatório, água e pedaço de metal X) não troca calor com o meio externo. Pergunta-se:
Mostre que, independente do calor específico do metal X, a temperatura de equilibrio térmico Tf tem que estar compreendida dentro da faixa 18^circ C. (Dica: para não violar a segunda lei da termodinâmica, o calor específico tem que ser sempre positivo.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um recipiente feito de um metal X com massa de 3,6 kg e contém 14 kg de água, ambos a 16°C. Aí, colocamos um pedaço desse mesmo metal X, com 1,8 kg, a 180°C dentro do recipiente. O sistema inteiro está isolado, ou seja, não troca calor com o ambiente. Nosso objetivo é mostrar que a temperatura final de equilíbrio térmico, que vamos chamar de $ T_f $, está entre 18°C e $ \frac{212}{3} $°C. Para isso, vamos usar conceitos de calorimetria e a ideia de equilíbrio térmico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, quando dois corpos a temperaturas diferentes são colocados em contato, o calor flui do corpo mais quente para o mais frio até que ambos atinjam a mesma temperatura. Isso é o que chamamos de equilíbrio térmico.

Passo 3

A quantidade de calor que um corpo perde ou ganha é dada pela fórmula:
Q = m cdot c cdot De
Onde:
- $ Q $ é o calor trocado,
- $ m $ é a massa do objeto,
- $ c $ é o calor específico do material,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.

Passo 4

No nosso caso, o pedaço de metal X vai perder calor, e tanto o recipiente de metal X quanto a água vão ganhar esse calor. Como o sistema está isolado, o calor perdido pelo metal é igual ao calor ganho pela água e pelo recipiente. Então, temos:
Qperdido = Qganho
mmetal cdot cX cdot (Tinicial, metal - Tf) = mágua cdot cágua cdot (Tf - Tinicial, água) + mrecipiente cdot cX cdot (Tf - Tinicial, recipiente) ááá

Passo 5

Vamos substituir os valores que conhecemos:
  • Massa do metal que está quente: 1,8 kg
  • Temperatura inicial do metal: 180°C
  • Massa da água: 14 kg
  • Temperatura inicial da água: 16°C
  • Massa do recipiente: 3,6 kg
  • Temperatura inicial do recipiente: 16°C
E sabemos que $ c_{água} $ é aproximadamente $ 4186 , J/(kg·°C) $. O calor específico do metal X, $ c_X $, vamos deixar como incógnita, mas sabemos que é positivo.

Passo 6

Substituindo na equação:
1,8 cdot cX cdot (180 - Tf) = 14 cdot 4186 cdot (Tf - 16) + 3,6 cdot cX cdot (Tf - 16)

Passo 7

Para simplificar, vamos dividir todos os termos por $ c_X $ (sabendo que $ c_X > 0 $):
cX

Passo 8

Agora, queremos encontrar os limites para $ T_f $. Vamos analisar o que acontece se $ T_f $ for menor que 18°C ou maior que $ \frac{212}{3} $°C.

Passo 9

Se assumirmos que $ T_f < 18 $°C, perceberemos que o calor necessário para aquecer a água e o recipiente seria maior do que o calor que o metal pode perder, o que não é possível sem violar a segunda lei da termodinâmica, que nos diz que o calor flui naturalmente do mais quente para o mais frio.

Passo 10

Por outro lado, se $ T_f > \frac{212}{3} $°C (aproximadamente 70,67°C), o metal precisaria perder mais calor do que o que estava disponível, o que novamente não é possível sem violar as leis da termodinâmica.

Resposta

Assim, mostramos que a temperatura de equilíbrio térmico $ T_f $ deve estar entre 18°C e $ \frac{212}{3} $°C.

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