Um recipiente, feito de um determinado tipo de metal X, possui massa de 3.6 kg e contém 14 kg de água. Ambos estão à
. Um pedaço de 1.8 kg , feito deste mesmo metal X , à
, é adicionado ao recipiente. O sistema (reservatório, água e pedaço de metal X) não troca calor com o meio externo. Pergunta-se:
Mostre que, independente do calor específico do metal X, a temperatura de equilibrio térmico
tem que estar compreendida dentro da faixa
. (Dica: para não violar a segunda lei da termodinâmica, o calor específico tem que ser sempre positivo.)
Mostre que, independente do calor específico do metal X, a temperatura de equilibrio térmico
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um recipiente feito de um metal X com massa de 3,6 kg e contém 14 kg de água, ambos a 16°C. Aí, colocamos um pedaço desse mesmo metal X, com 1,8 kg, a 180°C dentro do recipiente. O sistema inteiro está isolado, ou seja, não troca calor com o ambiente. Nosso objetivo é mostrar que a temperatura final de equilíbrio térmico, que vamos chamar de $ T_f $, está entre 18°C e $ \frac{212}{3} $°C. Para isso, vamos usar conceitos de calorimetria e a ideia de equilíbrio térmico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, quando dois corpos a temperaturas diferentes são colocados em contato, o calor flui do corpo mais quente para o mais frio até que ambos atinjam a mesma temperatura. Isso é o que chamamos de equilíbrio térmico.
Passo 3
A quantidade de calor que um corpo perde ou ganha é dada pela fórmula:
Onde:
- $ Q $ é o calor trocado,
- $ m $ é a massa do objeto,
- $ c $ é o calor específico do material,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Passo 4
No nosso caso, o pedaço de metal X vai perder calor, e tanto o recipiente de metal X quanto a água vão ganhar esse calor. Como o sistema está isolado, o calor perdido pelo metal é igual ao calor ganho pela água e pelo recipiente. Então, temos:
Passo 5
Vamos substituir os valores que conhecemos:
- Massa do metal que está quente: 1,8 kg
- Temperatura inicial do metal: 180°C
- Massa da água: 14 kg
- Temperatura inicial da água: 16°C
- Massa do recipiente: 3,6 kg
- Temperatura inicial do recipiente: 16°C
E sabemos que $ c_{água} $ é aproximadamente $ 4186 , J/(kg·°C) $. O calor específico do metal X, $ c_X $, vamos deixar como incógnita, mas sabemos que é positivo.
Passo 6
Substituindo na equação:
Passo 7
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por $ c_X $ (sabendo que $ c_X > 0 $):
Passo 8
Agora, queremos encontrar os limites para $ T_f $. Vamos analisar o que acontece se $ T_f $ for menor que 18°C ou maior que $ \frac{212}{3} $°C.
Passo 9
Se assumirmos que $ T_f < 18 $°C, perceberemos que o calor necessário para aquecer a água e o recipiente seria maior do que o calor que o metal pode perder, o que não é possível sem violar a segunda lei da termodinâmica, que nos diz que o calor flui naturalmente do mais quente para o mais frio.
Passo 10
Por outro lado, se $ T_f > \frac{212}{3} $°C (aproximadamente 70,67°C), o metal precisaria perder mais calor do que o que estava disponível, o que novamente não é possível sem violar as leis da termodinâmica.
Resposta
Assim, mostramos que a temperatura de equilíbrio térmico $ T_f $ deve estar entre 18°C e $ \frac{212}{3} $°C.