Uma bala de 5,0 \mathrm{~g} incide sobre um pêndulo balístico de massa igual a 2,0 \mathrm{~kg} com uma velocidade de 400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, atravessa-o e emerge do outro lado com uma velocidade de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a força atrito média aplicada na bala, sabendo que a mesma percorreu 12 cm no pêndulo

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumo do que se pede):\n
Temos uma bala que atravessa um pêndulo balístico. O enunciado pede a força de atrito média que age sobre a bala durante a passagem pelo pêndulo, sabendo a distância percorrida dentro do pêndulo. Dados fornecidos:
m=5{,}0\\ \mathrm{g},\quad M=2{,}0\\ \mathrm{kg},\quad v_i=400\\ \mathrm{m/s},\quad v_f=100\\ \mathrm{m/s},\quad d=12\\ \mathrm{cm}.
Pergunta: determinar a força de atrito média aplicada na bala enquanto ela percorre os 12\\ \mathrm{cm} dentro do pêndulo.

Passo 2

Conversão de unidades e organização dos dados (etapa simples, mas obrigatória).\n
Converto a massa da bala para quilograma e a distância para metros:
m=0{,}005\\ \mathrm{kg},\qquad d=0{,}12\\ \mathrm{m}.
Os outros dados já estão em unidades SI.

Passo 3

Justificativa física do método que vou usar (explicação didática e breve).\n
Quando a bala atravessa o pêndulo, durante o impacto curto podemos considerar a conservação da quantidade de movimento linear do sistema bala+pêndulo (porque não há impulso externo relevante durante o tempo muito pequeno do choque). Portanto eu uso:
\text{quantidade de movimento inicial} = \text{quantidade de movimento final},
ou seja
m v_i = m v_f + M V,
onde V é a velocidade do pêndulo imediatamente após a passagem da bala. Depois calculo a energia cinética transferida ao pêndulo e a variação de energia cinética da bala; a diferença entre a perda de energia da bala e a energia ganha pelo pêndulo é a energia dissipada pelo atrito (e deformações) dentro do pêndulo. Essa energia dissipada W_{\text{atrito}} é a que foi feita pelo atrito ao longo de d, portanto a força média de atrito é
F_{\text{méd}}=\frac{W_{\text{atrito}}}{d}.é
Explico cada fórmula usada conforme eu aplicar.

Passo 4

Encontrar a velocidade do pêndulo V usando conservação da quantidade de movimento.\n
Aplico
m v_i = m v_f + M V.
Isolando V:
V=\frac{m(v_i-v_f)}{M}.
Substituo os valores (tudo em SI):
V=\frac{0{,}005\,(400-100)}{2{,}0}=\frac{0{,}005\cdot 300}{2{,}0}.
Faço as contas passo a passo:
0{,}005\cdot 300 = 1{,}5,
V=\frac{1{,}5}{2{,}0}=0{,}75\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular as energias cinéticas: da bala antes e depois, e do pêndulo depois.\n
Definição e explicação rápida: energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v é
K=\tfrac{1}{2}mv^2,
onde m é a massa (em kg) e v a velocidade (em m/s). Vou calcular:
K_{b,i}=\tfrac{1}{2}m v_i^2=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}005\cdot 400^2,
K_{b,f}=\tfrac{1}{2}m v_f^2=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}005\cdot 100^2,
K_{p}=\tfrac{1}{2}M V^2=\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot 0{,}75^2.
Faço as contas:
K_{b,i}=0{,}5\cdot 0{,}005\cdot 160000 = 0{,}0025\cdot 160000 = 400\\ \mathrm{J},
K_{b,f}=0{,}5\cdot 0{,}005\cdot 10000 = 0{,}0025\cdot 10000 = 25\\ \mathrm{J},
K_{p}=1{,}0\cdot 0{,}75^2 = 1{,}0\cdot 0{,}5625 = 0{,}5625\\ \mathrm{J}.
Interpretação: a bala tinha 400\\ \mathrm{J} antes, saiu com 25\\ \mathrm{J}; o pêndulo ganhou 0{,}5625\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Determinar a energia dissipada pelo atrito W_{\text{atrito}}.\n
A perda de energia da bala é
\Delta K_b = K_{b,i}-K_{b,f}=400-25=375\\ \mathrm{J}.
Dessa perda, uma parte virou energia cinética do pêndulo K_p e o resto foi dissipada (calor, deformação, atrito). Logo
W_{\text{atrito}}=\Delta K_b - K_p = 375 - 0{,}5625 = 374{,}4375\\ \mathrm{J}.
Ou seja, aproximadamente 374{,}44\\ \mathrm{J} foram dissipados enquanto a bala atravessava o pêndulo.

Passo 7

Calcular a força média de atrito a partir do trabalho dissipado e da distância percorrida.\n
Relação entre trabalho de uma força constante (ou força média) e deslocamento: se uma força média F_{\text{méd}}é age oposta ao deslocamento d, o trabalho (energia dissipada) é
W_{\text{atrito}}=F_{\text{méd}}\; d.é
Isolando a força média (tomando o módulo, já que o sentido é oposto ao movimento):
F_{\text{méd}}=\frac{W_{\text{atrito}}}{d}.é
Substituo números:
F_{\text{méd}}=\frac{374{,}4375}{0{,}12}=3120{,}3125\\ \mathrm{N}.é
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos):
F_{\text{méd}}\approx 3{,}12\times 10^{3}\\ \mathrm{N},é
e o sentido dessa força é oposto ao da velocidade da bala (isto é, oposto ao movimento).

Resposta

F_{\text{médio}}\approx 3{,}12\times 10^{3}\\ \mathrm{N}é (direção: oposta ao movimento da bala)

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