Para não se atrasar para a prova de física, um estudante de engenharia programou seu despertador para tocar um som constante e irritante com frequência 602 Hz . Pela manhã, o despertador começou a tocar, o estudante acordou e, para sua surpresa, a função “desligar” parou de funcionar e o som permanceu tocando. Irritado com isso e precisando se concentrar, o estudante segura o despertador pela janela do sexto andar do prédio que mora e deixa o objeto cair até se espatifar a 19.5 m no chão ao lado de um ponto de ônibus. Considerando a velocidade do som no ar de
e a aceleração gravitacional de
, determine:
(a) A frequência do som ouvida pelo estudante um pouco antes do despertador bater no chão.
(b) A frequência do som ouvida por alguém parado no ponto de ônibus um pouco antes do despertador bater no chão.
(a) A frequência do som ouvida pelo estudante um pouco antes do despertador bater no chão.
(b) A frequência do som ouvida por alguém parado no ponto de ônibus um pouco antes do despertador bater no chão.
Passo 1
O problema pede duas frequências ouvidas pouco antes do despertador bater no chão:
(a) a frequência ouvida pelo estudante que soltou o despertador (ele está parado na janela, acima do aparelho);
(b) a frequência ouvida por alguém parado no ponto de ônibus (no chão, abaixo do aparelho).
(a) a frequência ouvida pelo estudante que soltou o despertador (ele está parado na janela, acima do aparelho);
(b) a frequência ouvida por alguém parado no ponto de ônibus (no chão, abaixo do aparelho).
Dados fornecidos:
Observações importantes que usaremos sem perguntar nada:
- o despertador é largado a partir do repouso e cai sob ação da gravidade até quase o instante anterior ao choque com o chão;
- pouco antes de bater no chão o despertador tem velocidade para baixo (em relação ao ar e aos observadores), que calcularemos a partir de
e .
Passo 2
Calcular a velocidade do despertador pouco antes do impacto usando cinemática (queda livre a partir do repouso).
Fórmula básica (derivação curta): para um objeto que parte do repouso e se desloca verticalmente sob aceleração constante
, a relação entre velocidade final
, aceleração
e deslocamento
é
Como
, temos
Substituindo os valores numéricos:
Logo
Interpretação física curta: pouco antes de bater, o despertador está caindo com velocidade
para baixo.
Passo 3
Apresentar a fórmula do efeito Doppler para fonte em movimento e observador em repouso (caso aplicável) e explicar os sinais.
Quando o observador está em repouso e a fonte sonora se move com velocidade
(positiva quando a fonte se move na direção que aproxima-se do observador), a frequência percebida
é dada por
Explicação dos sinais:
- usar o sinal menos no denominador (ou seja,
) quando a fonte se aproxima do observador — a frequência aumenta; - usar o sinal mais no denominador (ou seja,
) quando a fonte se afasta do observador — a frequência diminui.
Intuição simples: o movimento da fonte “empurra” as frentes de onda para frente quando se aproxima (aumentando taxa de crivos por segundo no observador) e as “espalha” quando se afasta (diminuindo a taxa).
No nosso caso, ambos os observadores estão essencialmente em repouso no ar: o estudante na janela e a pessoa no ponto de ônibus. A fonte (despertador) move-se para baixo com velocidade
calculada no passo anterior.
Passo 4
Calcular a frequência ouvida pelo estudante pouco antes do choque.
Geometria/ordem: o estudante está acima do despertador; o despertador está se afastando do estudante (movendo-se para baixo). Portanto usamos o sinal mais no denominador:
Substituindo
:
Fração:
Multiplicando pela frequência emitida:
Interpretação: o estudante ouve uma frequência menor que a original porque a fonte afasta-se dele.
Passo 5
Calcular a frequência ouvida pela pessoa no ponto de ônibus pouco antes do choque.
Geometria/ordem: a pessoa no ponto de ônibus está abaixo; o despertador está se aproximando dessa pessoa (movendo-se para baixo). Portanto usamos o sinal menos no denominador:
Substituindo:
Fração:
Multiplicando:
Interpretação: a pessoa no ponto de ônibus ouve uma frequência maior que a emitida, porque a fonte aproxima-se dela.
Passo 6
Verificação rápida de consistência e arredondamento:
- a variação percentual é pequena porque
(≈ ) é muito menor que , então deslocamentos de frequência de algumas dezenas de hertz são esperados; - mantivemos cálculos com precisão suficiente para a situação de prova; se for pedir respostas com uma casa decimal, use os valores que obtivemos.
Vai dar tudo certo na prova — respira, você já entendeu o raciocínio: velocidade da queda via
e efeito Doppler com fonte em movimento usando
.
Resposta
(a)
(b)