Para não se atrasar para a prova de física, um estudante de engenharia programou seu despertador para tocar um som constante e irritante com frequência 602 Hz . Pela manhã, o despertador começou a tocar, o estudante acordou e, para sua surpresa, a função “desligar” parou de funcionar e o som permanceu tocando. Irritado com isso e precisando se concentrar, o estudante segura o despertador pela janela do sexto andar do prédio que mora e deixa o objeto cair até se espatifar a 19.5 m no chão ao lado de um ponto de ônibus. Considerando a velocidade do som no ar de 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a aceleração gravitacional de 9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine:
(a) A frequência do som ouvida pelo estudante um pouco antes do despertador bater no chão.
(b) A frequência do som ouvida por alguém parado no ponto de ônibus um pouco antes do despertador bater no chão.

Passo 1

O problema pede duas frequências ouvidas pouco antes do despertador bater no chão:
(a) a frequência ouvida pelo estudante que soltou o despertador (ele está parado na janela, acima do aparelho);
(b) a frequência ouvida por alguém parado no ponto de ônibus (no chão, abaixo do aparelho).
Dados fornecidos:
\text{frequência emitida: } f=602\\ \mathrm{Hz}ê
\text{altura da queda: } h=19,5\\ \mathrm{m}
\text{velocidade do som no ar: } v_{\text{som}}=343\\ \mathrm{m/s}
\text{aceleração gravitacional: } g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}çã
Observações importantes que usaremos sem perguntar nada:
  • o despertador é largado a partir do repouso e cai sob ação da gravidade até quase o instante anterior ao choque com o chão;
  • pouco antes de bater no chão o despertador tem velocidade para baixo (em relação ao ar e aos observadores), que calcularemos a partir de h e g.

Passo 2

Calcular a velocidade do despertador pouco antes do impacto usando cinemática (queda livre a partir do repouso).
Fórmula básica (derivação curta): para um objeto que parte do repouso e se desloca verticalmente sob aceleração constante g, a relação entre velocidade final v, aceleração g e deslocamento h é
v^{2}=v_{0}^{2}+2gh.
Como v_{0}=0, temos
v=\sqrt{2gh}.
Substituindo os valores numéricos:
2gh=2\cdot 9,81\cdot 19,5=382,59.
Logo
v=\sqrt{382,59}\approx 19,56\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física curta: pouco antes de bater, o despertador está caindo com velocidade v\approx 19,56\\ \mathrm{m/s} para baixo.

Passo 3

Apresentar a fórmula do efeito Doppler para fonte em movimento e observador em repouso (caso aplicável) e explicar os sinais.
Quando o observador está em repouso e a fonte sonora se move com velocidade v_{s} (positiva quando a fonte se move na direção que aproxima-se do observador), a frequência percebida f' é dada por
f'=\frac{v_{\text{som}}}{v_{\text{som}}\mp v_{s}}\,f.
Explicação dos sinais:
  • usar o sinal menos no denominador (ou seja, v_{\text{som}}-v_{s}) quando a fonte se aproxima do observador — a frequência aumenta;
  • usar o sinal mais no denominador (ou seja, v_{\text{som}}+v_{s}) quando a fonte se afasta do observador — a frequência diminui.
Intuição simples: o movimento da fonte “empurra” as frentes de onda para frente quando se aproxima (aumentando taxa de crivos por segundo no observador) e as “espalha” quando se afasta (diminuindo a taxa).
No nosso caso, ambos os observadores estão essencialmente em repouso no ar: o estudante na janela e a pessoa no ponto de ônibus. A fonte (despertador) move-se para baixo com velocidade v_{s}=v calculada no passo anterior.

Passo 4

Calcular a frequência ouvida pelo estudante pouco antes do choque.
Geometria/ordem: o estudante está acima do despertador; o despertador está se afastando do estudante (movendo-se para baixo). Portanto usamos o sinal mais no denominador:
f_{\text{estudante}}= \frac{v_{\text{som}}}{v_{\text{som}}+v_{s}}\,f.
Substituindo v_{s}=19,56\\ \mathrm{m/s}:
v_{\text{som}}+v_{s}=343+19,56=362,56\\ \mathrm{m/s}.
Fração:
\frac{v_{\text{som}}}{v_{\text{som}}+v_{s}}=\frac{343}{362,56}\approx 0,94605.
Multiplicando pela frequência emitida:
f_{\text{estudante}}=602\cdot 0,94605\approx 569,52\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação: o estudante ouve uma frequência menor que a original porque a fonte afasta-se dele.

Passo 5

Calcular a frequência ouvida pela pessoa no ponto de ônibus pouco antes do choque.
Geometria/ordem: a pessoa no ponto de ônibus está abaixo; o despertador está se aproximando dessa pessoa (movendo-se para baixo). Portanto usamos o sinal menos no denominador:
f_{\text{ônibus}}=\frac{v_{\text{som}}}{v_{\text{som}}-v_{s}}\,f.ô
Substituindo:
v_{\text{som}}-v_{s}=343-19,56=323,44\\ \mathrm{m/s}.
Fração:
\frac{v_{\text{som}}}{v_{\text{som}}-v_{s}}=\frac{343}{323,44}\approx 1,06052.
Multiplicando:
f_{\text{ônibus}}=602\cdot 1,06052\approx 638,43\\ \mathrm{Hz}.ô
Interpretação: a pessoa no ponto de ônibus ouve uma frequência maior que a emitida, porque a fonte aproxima-se dela.

Passo 6

Verificação rápida de consistência e arredondamento:
  • a variação percentual é pequena porque v_{s} (≈ 19,56\\ \mathrm{m/s}) é muito menor que v_{\text{som}}=343\\ \mathrm{m/s}, então deslocamentos de frequência de algumas dezenas de hertz são esperados;
  • mantivemos cálculos com precisão suficiente para a situação de prova; se for pedir respostas com uma casa decimal, use os valores que obtivemos.
Vai dar tudo certo na prova — respira, você já entendeu o raciocínio: velocidade da queda via v=\sqrt{2gh} e efeito Doppler com fonte em movimento usando f'=\dfrac{v_{\text{som}}}{v_{\text{som}}\mp v_{s}}\,f.

Resposta

(a) 569,5\\ \mathrm{Hz}
(b) 638,4\\ \mathrm{Hz}

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