Um engenheiro precisa determinar as características de uma bomba de água para uma residência. A cisterna tem uma profundidade de 1,80 \mathrm{~m} e a caixa d’água está 3,5 \mathrm{~m} acima do nível da bomba. Sabendo que a caixa d’água tem uma capacidade de 1500 L e que 90 \% da potência da bomba é utilizada para transportar a água, determine:
a) O trabalho realizado pela bomba para encher a caixa;
b) A potência da bomba em CV para encher a caixa em 20 min .

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos: \begin{aligned} &\text{Profundidade da cisterna: }1{,}80\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Altura da caixa d'água acima do nível da bomba: }3{,}50\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Capacidade da caixa d'água: }1500\\ \mathrm{L},\\\ &\text{Rendimento (eficiência) da bomba: }90\% = 0{,}90. \end{aligned}áíáê
  • O que se pede:
    (a) O trabalho realizado pela bomba para encher a caixa.
    (b) A potência da bomba em \mathrm{CV} necessária para encher a caixa em 20 min.
Observação de leitura: o enunciado diz que a caixa está 3{,}5\\ \mathrm{m} acima do nível da bomba e que a cisterna tem profundidade 1{,}80\\ \mathrm{m}. A bomba está no nível indicado como “nível da bomba” (vai ser nossa referência vertical y=0); a água na cisterna ocupa alturas entre y=0 e y=1{,}80\\ \mathrm{m}. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Entendendo fisicamente o que é trabalho ao levantar água e como calculá-lo (aula rápida, sem pânico):
  • Trabalho mecânico realizado para elevar uma quantidade de massa m por uma altura \Delta h contra a gravidade é W = m\,g\,\Delta h,onde g é a aceleração da gravidade (vamos usar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}). Aqui m em kg, \Delta h em m, e W em J (joules).
  • No nosso caso a água não parte toda do mesmo ponto: cada gotinha que estava na cisterna a uma altura y (medida a partir do nível da bomba) precisa ser elevada até a caixa que está a 3{,}5\\ \mathrm{m}. Logo cada gota sofre um deslocamento vertical \Delta h(y)=3{,}5-y.
  • Uma forma direta e segura é usar a ideia de centro de massa/altura média: a energia total para remover todo o volume de água da cisterna e levá-lo até a caixa é igual ao peso total da água multiplicado pela distância entre a altura final (3{,}5 m) e a altura média inicial da água na cisterna. Para uma cisterna com água ocupando uniformemente de y=0 até y=1{,}80\\ \mathrm{m}, a altura média inicial é a metade da profundidade: \text{altura média inicial} = \frac{1{,}80}{2} = 0{,}90\\ \mathrm{m}.éPortanto a altura média que a água precisa subir é \bar{\Delta h}=3{,}50-0{,}90=2{,}60\\ \mathrm{m}.
  • (Se quiser ver, essa conclusão coincide com o resultado da integração slice-a-slice que eu poderia escrever — eu mostro isso no passo seguinte para você ver que não é mágica.)

Passo 3

Conversões e massa da água (essas coisas que a prova costuma cobrar):
  • Volume da caixa: 1500\\ \mathrm{L}. Para água pura: 1\\ \mathrm{L} = 1\\ \mathrm{kg},então a massa total de água é m = 1500\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

(metodinha via integração, mostrando que a altura média está correta — exemplo didático)
  • Considere uma fatia de água de espessura dy à altura y (entre 0 e 1{,}80). Se a área da seção da cisterna for A, o volume da fatia é dV = A\,dy e sua massa é dm=\rho\,dV, com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • O trabalho para elevar essa fatia até 3{,}5\\ \mathrm{m} é dW = dm\;g\;(3{,}5-y) = \rho A g (3{,}5-y)\,dy.
  • Integrando de y=0 até y=1{,}80: W=\int_{0}^{1{,}80}\rho A g (3{,}5-y)\,dy =\rho A g\left[3{,}5y-\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{1{,}80}.
  • Mas \rho A (1{,}80) é o total de massa m. Então ao calcular os parênteses obtemos exatamente m g (3{,}5-0{,}90), ou seja m g \cdot 2{,}60. Conclusão: a fórmula com distância média funciona e vale W = m\,g\,\bar{\Delta h}=m g (3{,}5-0{,}90).

Passo 5

Cálculo numérico do trabalho:
  • Usando m=1500\\ \mathrm{kg}, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} e \bar{\Delta h}=2{,}6\\ \mathrm{m}, \begin{aligned} W &= 1500\cdot 9{,}8 \cdot 2{,}6\\[4pt] &=1500\cdot(9{,}8\cdot 2{,}6)\\[4pt] &=1500\cdot 25{,}48\\[4pt] &=38220\\ \mathrm{J}. \end{aligned}
  • Podemos também escrever em kJ: W=38{,}22\\ \mathrm{kJ}. (Respira! Não é tão grande quanto parece quando a unidade é joule.)]

Passo 6

Agora a potência necessária para encher a caixa em 20 min:
  • Potência útil mínima (energia por tempo) é P_{\text{útil}}=\frac{W}{\Delta t}.ú
  • Tempo: 20\\ \text{min}=20\cdot 60=1200\\ \mathrm{s}.
  • Logo P_{\text{útil}}=\frac{38220}{1200}=31{,}85\\ \mathrm{W}.ú
  • Mas isso é a potência efetivamente usada no transporte da água. A bomba tem rendimento 90\%, ou seja apenas 90\% da potência elétrica fornecida à bomba aparece como potência útil. Se P é a potência elétrica (ou potência nominal da bomba), então 0{,}90\,P = P_{\text{útil}} \quad\Rightarrow\quad P=\frac{P_{\text{útil}}}{0{,}90}.úú
  • Assim a potência que a bomba precisa fornecer é P=\frac{31{,}85}{0{,}90}=35{,}389\\ \mathrm{W}\approx 35{,}39\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Converter a potência de watts para \mathrm{CV} (cavalo-vapor):
  • Fator de conversão (usado normalmente no Brasil): 1\\ \mathrm{CV}=736\\ \mathrm{W} (aproximação comum; se preferir usar 735{,}5\\ \mathrm{W} o valor numérico muda muito pouco).
  • Então P_{\mathrm{CV}}=\frac{35{,}389}{736}\approx 0{,}0481\\ \mathrm{CV}.
  • Arredondando de forma razoável para duas casas decimais significativas: P\approx 0{,}048\\ \mathrm{CV}. Dá para ver que é uma potência bem pequena — bomba doméstica típica tem potência maior, então essa tarefa (1500 L em 20 min) não exige muita potência.

Resposta

(a) W=38220\\ \mathrm{J}
(b) P\approx 0{,}0481\\ \mathrm{CV}

Exercícios relacionados