Um engenheiro precisa determinar as características de uma bomba de água para uma residência. A cisterna tem uma profundidade de
e a caixa d’água está
acima do nível da bomba. Sabendo que a caixa d’água tem uma capacidade de 1500 L e que
da potência da bomba é utilizada para transportar a água, determine:
a) O trabalho realizado pela bomba para encher a caixa;
b) A potência da bomba em CV para encher a caixa em 20 min .
a) O trabalho realizado pela bomba para encher a caixa;
b) A potência da bomba em CV para encher a caixa em 20 min .
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
- Dados fornecidos:
- O que se pede:
(a) O trabalho realizado pela bomba para encher a caixa.
(b) A potência da bomba emnecessária para encher a caixa em min.
Observação de leitura: o enunciado diz que a caixa está
acima do nível da bomba e que a cisterna tem profundidade
. A bomba está no nível indicado como “nível da bomba” (vai ser nossa referência vertical
); a água na cisterna ocupa alturas entre
e
. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Entendendo fisicamente o que é trabalho ao levantar água e como calculá-lo (aula rápida, sem pânico):
- Trabalho mecânico realizado para elevar uma quantidade de massa
por uma altura contra a gravidade é onde é a aceleração da gravidade (vamos usar ). Aqui em kg, em m, e em J (joules). - No nosso caso a água não parte toda do mesmo ponto: cada gotinha que estava na cisterna a uma altura
(medida a partir do nível da bomba) precisa ser elevada até a caixa que está a . Logo cada gota sofre um deslocamento vertical . - Uma forma direta e segura é usar a ideia de centro de massa/altura média: a energia total para remover todo o volume de água da cisterna e levá-lo até a caixa é igual ao peso total da água multiplicado pela distância entre a altura final (3{,}5 m) e a altura média inicial da água na cisterna. Para uma cisterna com água ocupando uniformemente de
até , a altura média inicial é a metade da profundidade: Portanto a altura média que a água precisa subir é - (Se quiser ver, essa conclusão coincide com o resultado da integração slice-a-slice que eu poderia escrever — eu mostro isso no passo seguinte para você ver que não é mágica.)
Passo 3
Conversões e massa da água (essas coisas que a prova costuma cobrar):
- Volume da caixa:
. Para água pura: então a massa total de água é
Passo 4
(metodinha via integração, mostrando que a altura média está correta — exemplo didático)
- Considere uma fatia de água de espessura
à altura (entre e ). Se a área da seção da cisterna for , o volume da fatia é e sua massa é , com . - O trabalho para elevar essa fatia até
é - Integrando de
até : - Mas
é o total de massa . Então ao calcular os parênteses obtemos exatamente , ou seja . Conclusão: a fórmula com distância média funciona e vale
Passo 5
Cálculo numérico do trabalho:
- Usando
, e , - Podemos também escrever em kJ:
. (Respira! Não é tão grande quanto parece quando a unidade é joule.)]
Passo 6
Agora a potência necessária para encher a caixa em
min:
- Potência útil mínima (energia por tempo) é
- Tempo:
. - Logo
- Mas isso é a potência efetivamente usada no transporte da água. A bomba tem rendimento
, ou seja apenas da potência elétrica fornecida à bomba aparece como potência útil. Se é a potência elétrica (ou potência nominal da bomba), então - Assim a potência que a bomba precisa fornecer é
Passo 7
Converter a potência de watts para
(cavalo-vapor):
- Fator de conversão (usado normalmente no Brasil):
(aproximação comum; se preferir usar o valor numérico muda muito pouco). - Então
- Arredondando de forma razoável para duas casas decimais significativas:
. Dá para ver que é uma potência bem pequena — bomba doméstica típica tem potência maior, então essa tarefa (1500 L em 20 min) não exige muita potência.
Resposta
(a)
(b)
(b)