Explique o efeito Doopler relativístico e como o mesmo explica a expansão do universo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Explicar o efeito Doppler relativístico — isto é, como a frequência (ou comprimento de onda) da luz muda quando a fonte e o observador têm movimento relativo, levando em conta a relatividade restrita.
- Explicar como esse efeito (ou a ideia por trás dele) é usado para interpretar a expansão do universo.
Informações implícitas que usaremos:
- A velocidade da luz no vácuo é
. - Denotaremos a velocidade relativa entre fonte e observador por
e . - Denotaremos a frequência emitida pela fonte por
e a frequência observada por . - Denotaremos o comprimento de onda emitido por
e o observado por . - Haverá duas situações úteis: movimento ao longo da linha de visada (longitudinal) e o caso cosmológico (expansão do espaço) que usa a função escala
.
Passo 2
Primeiro, uma lembrança do efeito Doppler clássico (intuitivo, sem relatividade): quando uma fonte de ondas se aproxima do observador, as cristas chegam mais próximas no tempo e a frequência observada aumenta (som fica mais agudo); quando se afasta, a frequência diminui. Para ondas em um meio (por exemplo som num ar), a fórmula simples para fonte se movendo ao longo da linha de visada é
onde o sinal menos corresponde à fonte se afastando. Essa fórmula é válida quando
e quando existe um “meio” com referência para medir a propagação. Para luz, entretanto, não há meio privilegiado e a velocidade da luz é sempre
em todos os referenciais — aí a fórmula clássica falha e precisamos da relatividade.
Passo 3
Conceitos-relâmpago de relatividade necessários (explicados devagar):
- A constante postulado: a velocidade da luz no vácuo é
para todo observador inercial, independente do movimento da fonte. - Tempo próprio e dilatação do tempo: um intervalo de tempo medido no referencial da fonte (tempo próprio) aparece maior em outro referencial em movimento relativo. A relação é dada pelo fator de Lorentz
Isto significa que um relógio que mede um intervalo
no referencial da fonte será visto como tendo intervalo
num referencial que vê a fonte movendo-se com velocidade
.
Passo 4
Derivação passo a passo do efeito Doppler relativístico para movimento ao longo da linha de visada (derivação física, sem 4-vetores):
Considere duas cristas consecutivas emitidas pela fonte com intervalo próprio (no referencial da fonte)
No referencial do observador (onde a fonte se move com velocidade
), por dilatação, o intervalo entre emissões é
Entre a emissão da primeira e da segunda crista, a fonte desloca-se uma distância
Se a fonte está se afastando do observador (caso recuo), a segunda crista precisa viajar uma distância adicional
para alcançar o observador, o que demora
. Assim o intervalo entre as chegadas (o intervalo que determina
) é
Portanto a frequência observada é o inverso desse intervalo:
Agora use uma identidade com
:
. Assim podemos escrever a forma mais simétrica (muito usada):
Se a fonte está se aproximando, troca-se
(ou seja substituir
por
), obtendo
Passo 5
Interpretações e checks intuitivos:
- Para velocidades pequenas (
), expandindo a raiz em série, a expressão reduz, a primeiro ordem, para a fórmula clássica:
o que mata a saudade da intuição clássica.
- A expressão relativística incorpora dois efeitos ao mesmo tempo: o atraso geométrico (como na derivação acima) e a dilatação do tempo da fonte (fator
). Eles se combinam para dar a raiz quadrada. - Em termos de comprimento de onda, usando
, obtemos para o caso de recuo
E definimos o redshift relativístico
por
Dessa relação podemos isolar
:
Isso permite passar de um redshift medido para uma velocidade equivalente (no sentido de Doppler relativístico).
Passo 6
Comentário sobre o caso angular (não apenas exatamente ao longo da linha de visada): existe uma forma geral que inclui o ângulo entre a direção de emissão e o vetor velocidade da fonte (medido no referencial da fonte). Uma forma prática é
onde
é o ângulo entre a direção de emissão e o movimento da fonte no referencial da fonte. Para
(luz emitida na direção oposta ao movimento, isto é, em direção ao observador quando a fonte se afasta), recuperamos a fórmula longitudinal acima. Não é preciso decorar todos os sinais confusos — o importante é entender que há dependência angular e que tempo de emissão + movimento + dilatação entram no resultado.
Passo 7
Agora: como isso explica a expansão do universo?
Observação empírica (Hubble): luz de galáxias distantes aparece deslocada para o vermelho (comprimentos de onda maiores) de modo que quanto mais distante a galáxia, maior o redshift observado. Interpretar esse redshift é a chave para concluir que o universo está se expandindo.
Existem duas maneiras de ver o redshift cosmológico:
- Interpretação heurística (Doppler-like, boa para distâncias pequenas): Se uma galáxia está se afastando com velocidade efetiva
, então o efeito Doppler relativístico dá um redshift. Para distâncias pequenas, a lei de Hubble vale
onde
é a constante de Hubble e
a distância. Para redshifts pequenos (
) a aproximação relativística reduz a
Isso é justamente o que Hubble observou: redshift proporcional à distância.
- Interpretação correta em relatividade geral (expansão do espaço): No modelo cosmológico padrão (métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker) existe uma escala do universo
que descreve o tamanho relativo do espaço em cada instante cósmico . A consequência direta é que os comprimentos de onda das ondas eletromagnéticas são esticados pela expansão do espaço enquanto viajam. O resultado exato é
Ou seja: o redshift mede quanto a escala do universo cresceu entre o momento da emissão e o momento da observação. Essa é a explicação fundamental para o redshift cosmológico.
Passo 8
Relação entre as duas interpretações:
- Para objetos relativamente próximos (pequeno
), a fórmula cosmológica acima dá um resultado praticamente igual ao Doppler relativístico com . Assim, para pequenas distâncias é aceitável pensar no redshift como um “Doppler” (galáxias se afastando através do espaço). - Para distâncias grandes (grandes
), a ideia de “velocidade” local através do espaço torna-se ambígua: a recessão é causada pela expansão do espaço entre nós e a galáxia. A velocidade recessional calculada pela derivada da escala, , pode exceder sem violar a relatividade restrita, porque não é velocidade local através do espaço, mas crescimento do espaço entre pontos. A relatividade geral é o quadro correto aqui.
Passo 9
Mecanismo físico simples para a expansão: imagine ondas (frentes) de luz “presas” ao espaço; quando o espaço se estica, as distâncias entre frentes aumentam, logo o comprimento de onda aumenta. Isso é análogo a manter marcada uma sequência de pontos num elástico e esticar o elástico: as marcações (que representam cristas) ficam mais espaçadas. Matematicamente cada modo de onda escala como a função escala
, daí
e a fórmula do passo anterior.
Passo 10
Exemplo numérico rápido por intuição:
- Se medirmos um redshift
(10% maior de comprimento de onda), para pequenas podemos achar uma velocidade aproximada (≈ 30 000 km/s). - Se
é grande (por exemplo ), a conversão direta para “velocidade” requer a fórmula relativística ou, melhor, a interpretação cosmológica via . Não é correto usar apenas quando não é muito pequeno.
Passo 11
Resumo das diferenças importantes (para lembrar na prova):
- Efeito Doppler relativístico: resultado de combinar dilatação do tempo e geometria de emissão; fórmula longitudinal:
sendo o sinal escolhido conforme aproximação ou afastamento.
- Redshift cosmológico (expansão do universo): é explicado pela expansão do espaço que estica os comprimentos de onda; relação exata em cosmologia:
- Para pequenas distâncias/pequenos
as duas descrições coincidem (Hubble: e ). Para grandes distâncias, a descrição correta é a que usa a função escala e relatividade geral.
Resposta
Efeito Doppler relativístico (longitudinal):
(fonte se afastando) e
(fonte se aproximando), com
.\nComo isso explica a expansão do universo: a expansão do espaço estica os comprimentos de onda e produz o redshift cosmológico dado por
; para pequenas distâncias esse redshift corresponde a um Doppler relativístico aproximado com
e
(lei de Hubble).