Explique o efeito Doopler relativístico e como o mesmo explica a expansão do universo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Explicar o efeito Doppler relativístico — isto é, como a frequência (ou comprimento de onda) da luz muda quando a fonte e o observador têm movimento relativo, levando em conta a relatividade restrita.
  2. Explicar como esse efeito (ou a ideia por trás dele) é usado para interpretar a expansão do universo.
Informações implícitas que usaremos:
  • A velocidade da luz no vácuo é \,c\,.
  • Denotaremos a velocidade relativa entre fonte e observador por \,v\, e \,\beta = v/c\,.
  • Denotaremos a frequência emitida pela fonte por \,\nu_{\text{em}}\, e a frequência observada por \,\nu_{\text{obs}}\,.
  • Denotaremos o comprimento de onda emitido por \,\lambda_{\text{em}}\, e o observado por \,\lambda_{\text{obs}}\,.
  • Haverá duas situações úteis: movimento ao longo da linha de visada (longitudinal) e o caso cosmológico (expansão do espaço) que usa a função escala \,a(t)\,.

Passo 2

Primeiro, uma lembrança do efeito Doppler clássico (intuitivo, sem relatividade): quando uma fonte de ondas se aproxima do observador, as cristas chegam mais próximas no tempo e a frequência observada aumenta (som fica mais agudo); quando se afasta, a frequência diminui. Para ondas em um meio (por exemplo som num ar), a fórmula simples para fonte se movendo ao longo da linha de visada é
\nu_{\text{obs}}=\nu_{\text{em}}\left(1\mp\frac{v}{c}\right),
onde o sinal menos corresponde à fonte se afastando. Essa fórmula é válida quando v\ll c e quando existe um “meio” com referência para medir a propagação. Para luz, entretanto, não há meio privilegiado e a velocidade da luz é sempre \,c em todos os referenciais — aí a fórmula clássica falha e precisamos da relatividade.

Passo 3

Conceitos-relâmpago de relatividade necessários (explicados devagar):
  • A constante postulado: a velocidade da luz no vácuo é \,c\, para todo observador inercial, independente do movimento da fonte.
  • Tempo próprio e dilatação do tempo: um intervalo de tempo medido no referencial da fonte (tempo próprio) aparece maior em outro referencial em movimento relativo. A relação é dada pelo fator de Lorentz
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}},\qquad\text{com}\quad \beta=\frac{v}{c}.
Isto significa que um relógio que mede um intervalo \Delta \tau no referencial da fonte será visto como tendo intervalo \Delta t=\gamma\,\Delta \tau num referencial que vê a fonte movendo-se com velocidade v.

Passo 4

Derivação passo a passo do efeito Doppler relativístico para movimento ao longo da linha de visada (derivação física, sem 4-vetores):
Considere duas cristas consecutivas emitidas pela fonte com intervalo próprio (no referencial da fonte)
\Delta \tau=\frac{1}{\nu_{\text{em}}}.
No referencial do observador (onde a fonte se move com velocidade v), por dilatação, o intervalo entre emissões é
\Delta t_{\text{em}}=\gamma\,\Delta \tau.
Entre a emissão da primeira e da segunda crista, a fonte desloca-se uma distância
\Delta x = v\,\Delta t_{\text{em}} = v\,\gamma\,\Delta \tau.
Se a fonte está se afastando do observador (caso recuo), a segunda crista precisa viajar uma distância adicional \Delta x para alcançar o observador, o que demora \Delta x/c. Assim o intervalo entre as chegadas (o intervalo que determina \nu_{\text{obs}}) é
\Delta t_{\text{arr}}=\Delta t_{\text{em}}+\frac{\Delta x}{c} =\gamma\,\Delta \tau\left(1+\frac{v}{c}\right) =\gamma\,(1+\beta)\,\Delta \tau.
Portanto a frequência observada é o inverso desse intervalo:
\nu_{\text{obs}}=\frac{1}{\Delta t_{\text{arr}}} =\frac{1}{\gamma\,(1+\beta)\,\Delta \tau} =\frac{\nu_{\text{em}}}{\gamma\,(1+\beta)}.
Agora use uma identidade com \gamma: \gamma\,(1+\beta)=\sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}}. Assim podemos escrever a forma mais simétrica (muito usada):
\nu_{\text{obs}}=\nu_{\text{em}}\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\qquad\text{(fonte se afastando)}.
Se a fonte está se aproximando, troca-se \beta\to -\beta (ou seja substituir 1+\beta por 1-\beta), obtendo
\nu_{\text{obs}}=\nu_{\text{em}}\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\qquad\text{(fonte se aproximando)}.

Passo 5

Interpretações e checks intuitivos:
  • Para velocidades pequenas ( \beta\ll 1), expandindo a raiz em série, a expressão reduz, a primeiro ordem, para a fórmula clássica:
\nu_{\text{obs}}\approx \nu_{\text{em}}\,(1\mp\beta),
o que mata a saudade da intuição clássica.
  • A expressão relativística incorpora dois efeitos ao mesmo tempo: o atraso geométrico (como na derivação acima) e a dilatação do tempo da fonte (fator \gamma). Eles se combinam para dar a raiz quadrada.
  • Em termos de comprimento de onda, usando \lambda = c/\nu, obtemos para o caso de recuo
\frac{\lambda_{\text{obs}}}{\lambda_{\text{em}}}=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.
E definimos o redshift relativístico z por
1+z=\frac{\lambda_{\text{obs}}}{\lambda_{\text{em}}}=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.
Dessa relação podemos isolar \beta:
\beta=\frac{(1+z)^{2}-1}{(1+z)^{2}+1}.
Isso permite passar de um redshift medido para uma velocidade equivalente (no sentido de Doppler relativístico).

Passo 6

Comentário sobre o caso angular (não apenas exatamente ao longo da linha de visada): existe uma forma geral que inclui o ângulo entre a direção de emissão e o vetor velocidade da fonte (medido no referencial da fonte). Uma forma prática é
\nu_{\text{obs}}=\nu_{\text{em}}\,\gamma\,(1+\beta\cos\theta'),
onde \theta' é o ângulo entre a direção de emissão e o movimento da fonte no referencial da fonte. Para \theta'=\pi (luz emitida na direção oposta ao movimento, isto é, em direção ao observador quando a fonte se afasta), recuperamos a fórmula longitudinal acima. Não é preciso decorar todos os sinais confusos — o importante é entender que há dependência angular e que tempo de emissão + movimento + dilatação entram no resultado.

Passo 7

Agora: como isso explica a expansão do universo?
Observação empírica (Hubble): luz de galáxias distantes aparece deslocada para o vermelho (comprimentos de onda maiores) de modo que quanto mais distante a galáxia, maior o redshift observado. Interpretar esse redshift é a chave para concluir que o universo está se expandindo.
Existem duas maneiras de ver o redshift cosmológico:
  1. Interpretação heurística (Doppler-like, boa para distâncias pequenas): Se uma galáxia está se afastando com velocidade efetiva \,v\,, então o efeito Doppler relativístico dá um redshift. Para distâncias pequenas, a lei de Hubble vale
v\approx H_{0}\,d,
onde H_{0} é a constante de Hubble e d a distância. Para redshifts pequenos ( z\ll 1) a aproximação relativística reduz a
z\approx\frac{v}{c}\approx\frac{H_{0}\,d}{c}.
Isso é justamente o que Hubble observou: redshift proporcional à distância.
  1. Interpretação correta em relatividade geral (expansão do espaço): No modelo cosmológico padrão (métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker) existe uma escala do universo a(t) que descreve o tamanho relativo do espaço em cada instante cósmico t. A consequência direta é que os comprimentos de onda das ondas eletromagnéticas são esticados pela expansão do espaço enquanto viajam. O resultado exato é
1+z=\frac{\lambda_{\text{obs}}}{\lambda_{\text{em}}}=\frac{a(t_{\text{obs}})}{a(t_{\text{em}})}.
Ou seja: o redshift mede quanto a escala do universo cresceu entre o momento da emissão e o momento da observação. Essa é a explicação fundamental para o redshift cosmológico.

Passo 8

Relação entre as duas interpretações:
  • Para objetos relativamente próximos (pequeno z), a fórmula cosmológica acima dá um resultado praticamente igual ao Doppler relativístico com v\simeq H_{0}d. Assim, para pequenas distâncias é aceitável pensar no redshift como um “Doppler” (galáxias se afastando através do espaço).
  • Para distâncias grandes (grandes z), a ideia de “velocidade” local através do espaço torna-se ambígua: a recessão é causada pela expansão do espaço entre nós e a galáxia. A velocidade recessional calculada pela derivada da escala, v_{\text{rec}}=\dot a(t) \, d_{\text{comoving}}, pode exceder c sem violar a relatividade restrita, porque não é velocidade local através do espaço, mas crescimento do espaço entre pontos. A relatividade geral é o quadro correto aqui.

Passo 9

Mecanismo físico simples para a expansão: imagine ondas (frentes) de luz “presas” ao espaço; quando o espaço se estica, as distâncias entre frentes aumentam, logo o comprimento de onda aumenta. Isso é análogo a manter marcada uma sequência de pontos num elástico e esticar o elástico: as marcações (que representam cristas) ficam mais espaçadas. Matematicamente cada modo de onda escala como a função escala \,a(t)\,, daí \lambda\propto a(t) e a fórmula do passo anterior.

Passo 10

Exemplo numérico rápido por intuição:
  • Se medirmos um redshift z=0,1 (10% maior de comprimento de onda), para pequenas z podemos achar uma velocidade aproximada v\approx c z\approx 0,1\,c (≈ 30 000 km/s).
  • Se z é grande (por exemplo z=2), a conversão direta para “velocidade” requer a fórmula relativística ou, melhor, a interpretação cosmológica via a(t). Não é correto usar apenas v=c z quando z não é muito pequeno.

Passo 11

Resumo das diferenças importantes (para lembrar na prova):
  • Efeito Doppler relativístico: resultado de combinar dilatação do tempo e geometria de emissão; fórmula longitudinal:
\nu_{\text{obs}}=\nu_{\text{em}}\sqrt{\frac{1\mp\beta}{1\pm\beta}},
sendo o sinal escolhido conforme aproximação ou afastamento.
  • Redshift cosmológico (expansão do universo): é explicado pela expansão do espaço que estica os comprimentos de onda; relação exata em cosmologia:
1+z=\frac{a(t_{\text{obs}})}{a(t_{\text{em}})}.
  • Para pequenas distâncias/pequenos z as duas descrições coincidem (Hubble: v\approx H_{0}d e z\approx v/c). Para grandes distâncias, a descrição correta é a que usa a função escala e relatividade geral.

Resposta

Efeito Doppler relativístico (longitudinal): \displaystyle \nu_{\text{obs}}=\nu_{\text{em}}\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} (fonte se afastando) e \displaystyle \nu_{\text{obs}}=\nu_{\text{em}}\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} (fonte se aproximando), com \beta=v/c.\nComo isso explica a expansão do universo: a expansão do espaço estica os comprimentos de onda e produz o redshift cosmológico dado por \displaystyle 1+z=\frac{\lambda_{\text{obs}}}{\lambda_{\text{em}}}=\frac{a(t_{\text{obs}})}{a(t_{\text{em}})}; para pequenas distâncias esse redshift corresponde a um Doppler relativístico aproximado com z\approx v/c e v\approx H_{0}d (lei de Hubble).

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