Um balão cheio d’água é deixado cair do terceiro andar de um edifício. O balão arrebenta ao chegar ao solo, em uma colisão perfeitamente inelástica. Qual é a energia cinética transferida para a Terra em consequência da colisão?
A) m v^{\wedge} 2 / 2
B) m v^{\wedge} 2
C) mv
D) 2 \mathrm{mv} \mathrm{v}^{\wedge} 2
E) zero

Passo 1

O enunciado diz que um balão de massa m cai com velocidade v e, ao atingir o solo, colide de forma perfeitamente inelástica com a Terra. Queremos saber quanta energia cinética é transferida para a Terra nessa colisão. O que vamos usar: conservação do momento linear para colisão inelástica e comparação entre energia cinética inicial e final.

Passo 2

Antes da colisão, só o balão tem energia e momento. A energia cinética inicial do balão é
E_{i}=\frac{1}{2}\,m\,v^{2},
e seu momento linear é \,p_{i}=m v. A Terra, de massa M\gg m, está praticamente em repouso.

Passo 3

Na colisão perfeitamente inelástica, balão e Terra passam a mover-se juntos com velocidade comum V. Pela conservação do momento linear:
m\,v=(m+M)\,V
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V=\frac{m\,v}{m+M}\approx\frac{m\,v}{M}\quad(\text{pois }M\gg m).

Passo 4

A energia cinética final do conjunto balão–Terra é
E_{f}=\frac{1}{2}(m+M)\,V^{2} =\frac{1}{2}(m+M)\,\Bigl(\frac{m\,v}{m+M}\Bigr)^{2} =\frac{1}{2}\,\frac{m^{2}\,v^{2}}{m+M} \approx\frac{1}{2}\,\frac{m^{2}\,v^{2}}{M}\ll\frac{1}{2}m v^{2}.
Como essa energia final é desprezível comparada à inicial, a maior parte da energia cinética inicial é transferida para a Terra (na forma de calor, ondas, deformação etc.).

Resposta

A) \displaystyle \frac{m\,v^{2}}{2}

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