Escreva 3 equações de autovalores da mecânica quântica e explique o que elas significam.

Passo 1

O enunciado pede para escrever três equações de autovalores típicas da mecânica quântica e explicar o que cada uma delas significa. Vamos escolher equações que ilustram autovalores de energia, momento linear e momento angular.

Passo 2

A equação de autovalor mais fundamental é a equação de Schr"odinger independente do tempo, onde o hamiltoniano \hat H atua sobre uma função de onda estacion’aria \psi:
\hat H\,\psi = E\,\psi.
Aqui, \hat H `e o operador energia total (energia cin’etica mais energia potencial), \psi `e um autovetor (autofun\c{c}~ao) e E `e o autovalor de energia. Essa rela\c{c}~ao significa que, ao medir a energia do sistema preparado no estado \psi, sempre obteremos o valor E.

Passo 3

Em seguida, o operador impulso linear na representação de posição é dado por \hat p_x = -\,i\hbar\,\dfrac{\mathrm d}{\mathrm d x}. Seus autovalores e autofunções satisfazem
\hat p_x\,\phi_p(x) = p\,\phi_p(x).
Nesse caso, \phi_p(x) é uma onda plana de momento p e \hbar é a constante de Planck reduzida. Isso quer dizer que, se o sistema está no estado \phi_p, uma medida de impulso sempre retorna o valor p.

Passo 4

Por fim, um exemplo de momento angular é a componente z do operador \hat L_z. Seus autovalores aparecem em funções angulares Y_{l,m}(\theta,\varphi):
\hat L_z\,Y_{l,m} = \hbar\,m\,Y_{l,m},
onde l e m são números quânticos do momento angular total e de sua projeção em z. Isso significa que, num estado descrito por Y_{l,m}, a medida de L_z retorna sempre \hbar m.

Resposta

\hat H\,\psi = E\,\psi
\hat p_x\,\phi_p(x) = p\,\phi_p(x)
\hat L_z\,Y_{l,m} = \hbar\,m\,Y_{l,m}

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