2^{\mathrm{a}}. Questão (2pts): Considere 2 cilindros dielétricos concêntricos de raio a e b, e permissividade relativa \varepsilon_{1 r} e \varepsilon_{2 r} respectivamente. Dado que o campo elétrico no meio 1 é dado por:
\vec{E}_{1}=\frac{1}{r} \hat{r}+r^{2} \cos \varphi \hat{\varphi}+r^{2} \operatorname{sen} \varphi \hat{z}
Escreva os campos \vec{E}_{2}, \vec{D}_{2} no meio 2 .

Passo 1

O enunciado descreve dois dielétricos cilíndricos concêntricos, de raios a e b, com permissividades relativas \varepsilon_{1r} (no meio 1) e \varepsilon_{2r} (no meio 2). O campo elétrico no meio 1 é dado em coordenadas cilíndricas por
\vec{E}_{1}=\frac{1}{r}\,\hat r \;+\;r^{2}\cos\varphi\,\hat\varphi\;+\;r^{2}\sin\varphi\,\hat z.
Precisamos usar as condições de contorno na interface (raio b) para encontrar \vec E_{2} e \vec D_{2} no meio 2.

Passo 2

Separemos componentes normal e tangenciais a \{r,\varphi,z\}.
  • Componente normal: \hat r.
  • Componentes tangenciais: \hat\varphi e \hat z.
As condições de contorno sem carga livre na interface são:
  1. continuidade de \vec E tangencial, ou seja
E_{1\varphi}(b)=E_{2\varphi}(b), \quad E_{1z}(b)=E_{2z}(b).
  1. continuidade de \vec D normal, ou seja
D_{1r}(b)=D_{2r}(b),
com D_{ir}=\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{ir}\,E_{ir}.

Passo 3

Impondo continuidade de \vec E tangencial em r=b:
E_{1\varphi}=r^{2}\cos\varphi\quad\Longrightarrow\quad E_{2\varphi}(r)=r^{2}\cos\varphi,
E_{1z}=r^{2}\sin\varphi\quad\Longrightarrow\quad E_{2z}(r)=r^{2}\sin\varphi.

Passo 4

Agora a normal:
D_{1r}(b)=\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{1r}\,E_{1r}(b) =\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{1r}\,\frac{1}{b},
D_{2r}(b)=\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{2r}\,E_{2r}(b).
Como D_{1r}(b)=D_{2r}(b), segue
\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{1r}\,\frac{1}{b} =\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{2r}\,E_{2r}(b) \quad\Longrightarrow\quad E_{2r}(r)=\frac{\varepsilon_{1r}}{\varepsilon_{2r}}\;\frac{1}{r}.

Passo 5

Reunindo todas as componentes, no meio 2 temos
\vec{E}_{2} =\frac{\varepsilon_{1r}}{\varepsilon_{2r}}\;\frac{1}{r}\,\hat r \;+\;r^{2}\cos\varphi\,\hat\varphi \;+\;r^{2}\sin\varphi\,\hat z
e, por definição \vec D_{2}=\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{2r}\,\vec E_{2},
\vec{D}_{2} =\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{1r}\;\frac{1}{r}\,\hat r \;+\;\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{2r}\,r^{2}\cos\varphi\,\hat\varphi \;+\;\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{2r}\,r^{2}\sin\varphi\,\hat z.

Resposta

\boxed{ \vec{E}_{2} =\frac{\varepsilon_{1r}}{\varepsilon_{2r}}\;\frac{1}{r}\,\hat r +r^{2}\cos\varphi\,\hat\varphi +r^{2}\sin\varphi\,\hat z, \quad \vec{D}_{2} =\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{1r}\;\frac{1}{r}\,\hat r +\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{2r}\,r^{2}\cos\varphi\,\hat\varphi +\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{2r}\,r^{2}\sin\varphi\,\hat z. }

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