Um balão contém 1.000 pés cúbicos de gás à pressão de 5 libras por polegada quadrada. Se a pressão decresce na razão de 0,05 libras por polegada quadrada por hora, com que velocidade cresce o volume? (Sugestão: use a lei de Boyle p v=c).

Passo 1

O enunciado trata de um balão em que a pressão p e o volume v satisfazem a Lei de Boyle, isto é,
p,v = c,
onde c é constante. Inicialmente temos v(0)=1000 s^3 e p(0)=5 libras/po l^2, e a pressão varia segundo
dpdt = -0,05 libras/pol^2 por hora
Queremos achar a taxa de variação dvdt.

Passo 2

Usando os valores iniciais na Lei de Boyle, obtemos a constante c:
c = p(0),v(0) = 5 times 1000 = 5000

Passo 3

Diferenciando implicitamente p,v=c em relação ao tempo t, vem
ddt(p,v)=0
p,dvdt + v,dpdt = 0
e daí
dvdt = -,vp,dpdt

Passo 4

No instante considerado usamos v=1000, p=5 e dpdt=-0,05. Logo,
dvdt = -,10005times(-0,05) = 200 times 0,05 =10

Resposta

A velocidade de crescimento do volume é de 10 pés cúbicos por hora.

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