Os limites abaixo existem?
lim x 0 sen(x)x^3-x^2,,

Passo 1

O enunciado pede para verificar a existência de
limxto0sin(x)x^3 - x^2
É um problema de análise de limite no ponto onde o denominador se anula. Vamos usar fatoração e a expansão de Taylor de primeira ordem para entender o comportamento da fração perto de x=0.

Passo 2

Fatoramos o denominador para isolar o termo que anula em zero:
x^3 - x^2 = x^2,(x - 1)

Passo 3

Para x pequeno, usamos a aproximação
sin(x) = x + o(x)
Então
sin(x)x^2(x - 1) = x + o(x)x^2(x - 1) = 1 + o(1)x,(x - 1)
Como xto0, temos x-1approx -1, daí
sin(x)x^2(x - 1)sim 1-,x = -1x

Passo 4

Analisamos os limites laterais de -1/x:
Para xto0^+,
-1x to -infty
Para xto0^-,
-1x to +infty

Passo 5

Os limites laterais são diferentes (um vai a -infty e outro a +infty), logo o limite em x=0 não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados