Um balão de 1 L contendo o gás metano ( \mathrm{CH}_{4} ) a uma pressão de 10 kPa é conectado a um segundo balão de 3 L contendo o gás hidrogênio ( \mathrm{H}_{2} ) a 20 kPa . Considerando que ambos os balões estão na mesma temperatura:
a) calcule a pressão total da mistura formada pelos dois gases; [\mathrm{R}=17,5 \mathrm{kPa}]
b) calcule a fração molar de cada componente da mistura. \left[\mathrm{R}=0,857\left(\mathrm{H}_{2}\right)\right. e \left.0,143\left(\mathrm{CH}_{4}\right)\right]

Passo 1

Dados fornecidos:
\;V_{1}=1\\ \text{L} contendo \mathrm{CH}_{4} à pressão \;P_{1}=10\\ \text{kPa}.
\;V_{2}=3\\ \text{L} contendo \mathrm{H}_{2} à pressão \;P_{2}=20\\ \text{kPa}.
Os dois balões estão à mesma temperatura (temperatura constante durante a mistura).
O que o enunciado pede:
a) Calcular a pressão total da mistura formada ao conectarmos os dois balões.
b) Calcular a fração molar (mole fraction) de cada componente na mistura.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Usamos a lei dos gases ideais na forma
PV = nRT,
onde:
  • P é a pressão do gás (aqui em \text{kPa}),
  • V é o volume ocupado pelo gás (aqui em \text{L}),
  • n é o número de mols do gás,
  • R é a constante universal dos gases ( R em unidades compatíveis, por ex. \text{kPa}\cdot\text{L}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}),
  • T é a temperatura absoluta (em \text{K}).
Isolando n obtemos
n=\frac{PV}{RT}.
Isso significa que, para cada balão, o número de mols é proporcional ao produto PV (para mesma R e T).

Passo 3

Derivação prática para a pressão total (explicando por que T e R não aparecem no resultado final):
Após conectar os balões a temperatura é a mesma e os gases se misturam, ocupando o volume total V_{\text{tot}}=V_{1}+V_{2}. O número total de mols é
n_{\text{tot}}=n_{1}+n_{2}=\frac{P_{1}V_{1}}{RT}+\frac{P_{2}V_{2}}{RT}=\frac{P_{1}V_{1}+P_{2}V_{2}}{RT}.
A pressão total final P_{\text{tot}} satisfaz
P_{\text{tot}}V_{\text{tot}}=n_{\text{tot}}RT.
Substituindo n_{\text{tot}} e cancelando RT, obtemos a fórmula útil e prática:
P_{\text{tot}}=\frac{P_{1}V_{1}+P_{2}V_{2}}{V_{1}+V_{2}}.
Observação didática: esse cancelamento acontece porque a temperatura é a mesma antes e depois; portanto não precisamos do valor numérico de R nem de T para achar P_{\text{tot}}.

Passo 4

Cálculo numérico da pressão total, mostrando cada conta:
Calculemos o numerador e o denominador separadamente:
P_{1}V_{1}=10\cdot 1=10\\ \text{kPa}\cdot\text{L},
P_{2}V_{2}=20\cdot 3=60\\ \text{kPa}\cdot\text{L}.
Somando:
P_{1}V_{1}+P_{2}V_{2}=10+60=70\\ \text{kPa}\cdot\text{L}.
Volume total:
V_{1}+V_{2}=1+3=4\\ \text{L}.
Então
P_{\text{tot}}=\frac{70}{4}=17{,}5\\ \text{kPa}.

Passo 5

Definição e fórmula da fração molar (didática):
A fração molar do componente i é
\chi_{i}=\frac{n_{i}}{n_{\text{tot}}}.
Usando n_{i}=\dfrac{P_{i}V_{i}}{RT} e n_{\text{tot}}=\dfrac{P_{1}V_{1}+P_{2}V_{2}}{RT}, novamente o RT cancela e obtemos a forma prática
\chi_{i}=\frac{P_{i}V_{i}}{P_{1}V_{1}+P_{2}V_{2}}.
Isso é muito conveniente: a fração molar depende só dos produtos P_{i}V_{i}.

Passo 6

Cálculo das frações molares com contas passo a passo:
Para \mathrm{H}_{2} (componente 2):
\chi_{H_{2}}=\frac{P_{2}V_{2}}{P_{1}V_{1}+P_{2}V_{2}}=\frac{60}{70}=\frac{6}{7}\approx 0{,}857.
Para \mathrm{CH}_{4} (componente 1):
\chi_{CH_{4}}=\frac{P_{1}V_{1}}{P_{1}V_{1}+P_{2}V_{2}}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\approx 0{,}143.

Passo 7

Verificação rápida (sanity check):
Somando as frações molares:
\chi_{H_{2}}+\chi_{CH_{4}}=\frac{6}{7}+\frac{1}{7}=1,
o que confirma consistência (as frações molares devem somar 1).

Resposta

P_{\text{total}}=17{,}5\\ \text{kPa}
\chi_{H_{2}}=0{,}857
\chi_{CH_{4}}=0{,}143

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