Um balão de 22,4 \mathrm{dm}^{3} contém 1,5 \mathrm{~mol} de \mathrm{H}_{2} e 2,75 \mathrm{~mol} de \mathrm{N}_{2} a 0^{\circ} \mathrm{C}. Calcule:
a) as frações molares de cada componente na mistura; \left[\mathrm{R}=0,647\right. e 0,353 para \mathrm{N}_{2} e \left.\mathrm{H}_{2}\right]
b) a pressão total da mistura; [\mathrm{R}=430,876 \mathrm{kPa}]
c) a pressão parcial de cada gás. \left[\mathrm{R}=278,776 \mathrm{kPa}\right. e 152 kPa para \mathrm{N}_{2} e \left.\mathrm{H}_{2}\right]

Passo 1

O enunciado dá um balão com volume \,22{,}4\\ \mathrm{dm}^3 contendo \,1{,}5\\ \mathrm{mol} de \mathrm{H}_2 e \,2{,}75\\ \mathrm{mol} de \mathrm{N}_2 à temperatura de \,0^\circ\mathrm{C}. Pede:
a) as frações molares de cada componente;
b) a pressão total da mistura;
c) a pressão parcial de cada gás.
Informações relevantes listadas:
\;V = 22{,}4\\ \mathrm{dm}^3 = 22{,}4\\ \mathrm{L} (usei que 1\\ \mathrm{dm}^3=1\\ \mathrm{L}),
\;n_{\mathrm{H}_2}=1{,}5\\ \mathrm{mol},
\;n_{\mathrm{N}_2}=2{,}75\\ \mathrm{mol},
\;T=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}.
Vou usar a equação dos gases ideais e definição de fração molar / pressões parciais.

Passo 2

Calcular o número total de mols da mistura. Somamos as quantidades dadas:
n_{\text{total}} = n_{\mathrm{H}_2} + n_{\mathrm{N}_2} = 1{,}5 + 2{,}75 = 4{,}25\\ \mathrm{mol}.
Isso é importante porque a fração molar de cada gás e a pressão total dependem de n_{\text{total}}.

Passo 3

Definição e cálculo das frações molares. A fração molar de um componente i é
x_i=\frac{n_i}{n_{\text{total}}},
onde n_i é o número de mols do componente e n_{\text{total}} o total de mols da mistura. Aplicando:
Para \mathrm{N}_2:
x_{\mathrm{N}_2}=\frac{2{,}75}{4{,}25}=\frac{11}{17}\approx 0{,}647.
Para \mathrm{H}_2:
x_{\mathrm{H}_2}=\frac{1{,}5}{4{,}25}=\frac{6}{17}\approx 0{,}353.
Interpretação rápida: x_{\mathrm{N}_2} significa que, de cada mol da mistura, cerca de 0{,}647 mol vem de \mathrm{N}_2.

Passo 4

Explicação do método para achar a pressão total: lei dos gases ideais. A equação dos gases ideais é
PV=nRT,
onde P é a pressão total da mistura, V é o volume, n é o número total de mols, R é a constante universal dos gases e T é a temperatura em kelvin. Cada termo:
  • P: queremos calcular (unidade \mathrm{kPa});
  • V: volume em litros ( \mathrm{L});
  • n: n_{\text{total}} em mol;
  • R: constante escolhida com unidades compatíveis ( \mathrm{kPa\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}});
  • T: temperatura em \mathrm{K}.
Vou usar \;R=8{,}314\\ \mathrm{kPa\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, V=22{,}4\\ \mathrm{L}, n=4{,}25\\ \mathrm{mol} e T=273{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Cálculo da pressão total pela equação dos gases ideais. Substituindo:
P_{\text{total}}=\frac{n_{\text{total}} R T}{V}.
Agora os cálculos passo a passo (mantendo vírgulas decimais conforme pedido):
n_{\text{total}}R = 4{,}25\cdot 8{,}314 = 35{,}3345,
n_{\text{total}} R T = 35{,}3345\cdot 273{,}15 = 9\,651{,}618675,
P_{\text{total}}=\frac{9\,651{,}618675}{22{,}4}=430{,}876\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{aprox.}).
Observação prática: como V=22{,}4\\ \mathrm{L} e T=273{,}15\\ \mathrm{K}, o factor RT/V dá aproximadamente a pressão ocupada por 1 mol nessas condições; multiplicando por n_{\text{total}} obtemos a pressão final.

Passo 6

Explicação e cálculo das pressões parciais (Lei de Dalton). A lei de Dalton diz que a pressão total de uma mistura de gases ideais é soma das pressões parciais:
P_{\text{total}}=\sum_i p_i,
e a pressão parcial de cada gás pode ser obtida de duas formas equivalentes:
(a) p_i = x_i P_{\text{total}} (usando fração molar), ou
(b) p_i = \dfrac{n_i R T}{V} (aplicando PV = nRT ao componente).
Usando (a), que é mais curta porque já temos x_i:
Para \mathrm{N}_2:
p_{\mathrm{N}_2}=x_{\mathrm{N}_2}\,P_{\text{total}}=\frac{11}{17}\cdot 430{,}876 = 278{,}776\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{aprox.}).
Para \mathrm{H}_2:
p_{\mathrm{H}_2}=x_{\mathrm{H}_2}\,P_{\text{total}}=\frac{6}{17}\cdot 430{,}876 = 152{,}100\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{aprox.}).
Verificação rápida: 278{,}776+152{,}100=430{,}876\\ \mathrm{kPa}, que confere com a pressão total.

Resposta

(a) x_{\mathrm{N}_2}=0{,}647,\;x_{\mathrm{H}_2}=0{,}353
(b) P_{\text{total}}=430{,}876\\ \mathrm{kPa}
(c) p_{\mathrm{N}_2}=278{,}776\\ \mathrm{kPa},\;p_{\mathrm{H}_2}=152{,}100\\ \mathrm{kPa}

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