Um balão está se deslocando com movimento uniforme e num dado instante inicial possui altitude de 300,0me vetor velocidade 2,00 kg. Neste instante o baloeiro libera uma esfera de g=9,81 m / s. Desprezando a resistência do ar, determine:
a) o tempo de voo da esfera até que atinja o solo;
b) a distância horizontal percorrida pela esfera; Adote: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, temos um balão que está se movendo de forma uniforme e, num certo momento, está a uma altitude de 300,0 metros. A velocidade do balão é dada pelo vetor v = (5,0 i -10,0 j) , m/s. Nesse instante, o baloeiro solta uma esfera de 2,00 kg. Precisamos descobrir duas coisas:
a) Quanto tempo a esfera leva para atingir o solo.
b) Qual a distância horizontal que a esfera percorre antes de cair.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos sem se preocupar com as causas desse movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação. Quando a esfera é solta, ela já tem a mesma velocidade do balão. Isso significa que ela tem uma velocidade horizontal de 5,0 m/s e uma velocidade vertical inicial de -10,0 m/s (o sinal negativo indica que está descendo).

Passo 3

Vamos começar com a parte (a): determinar o tempo que a esfera leva para atingir o solo. Para isso, vamos analisar o movimento vertical.
A equação que relaciona a posição, velocidade e tempo no movimento vertical é:
y(t) = y0 + vy0 t + 12 a t^2
Onde:
  • $ y(t) $ é a posição vertical no tempo $ t $
  • $ y_0 $ é a posição inicial (300,0 m)
  • $ v_{y0} $ é a velocidade vertical inicial (-10,0 m/s)
  • $ a $ é a aceleração vertical (aqui, a aceleração da gravidade, que vai ser $ g = -9,81 , \mathrm{m/s^2} $, já que está puxando para baixo)
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando a esfera atinge o solo, ou seja, quando $ y(t) = 0 $.

Passo 4

Substituindo os valores na equação:
0 = 300,0 + (-10,0) t + 12 (-9,81) t^2
Vamos organizar a equação:
0 = 300,0 - 10,0 t - 4,905 t^2
Isso é uma equação quadrática na forma:
-4,905 t^2 -10,0 t + 300,0 = 0
Podemos multiplicar toda a equação por -1 para facilitar:
4,905 t^2 + 10,0 t - 300,0 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar $ t $. A fórmula de Bhaskara é a mais indicada:
t
Aqui, $ a = 4,905 $, $ b = 10,0 $ e $ c = -300,0 $.
Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $) primeiro:
t = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Então,
a = 4,905
Como o tempo não pode ser negativo, vamos considerar apenas a solução positiva:
b = 10,0

Passo 6

Agora que temos o tempo de voo da esfera até atingir o solo (aproximadamente 6,87 segundos), vamos para a parte (b): encontrar a distância horizontal percorrida pela esfera.
No movimento horizontal, não há aceleração (desprezamos a resistência do ar), então a velocidade horizontal $ v_x $ permanece constante em 5,0 m/s.
A distância horizontal $ x $ é dada por:
vx

Passo 7

Substituindo os valores:
x = 5,0 , m/s times 6,87 , s approx 34,35 , m

Resposta

a) O tempo de voo da esfera até atingir o solo é aproximadamente 6,87 segundos.
b) A distância horizontal percorrida pela esfera é aproximadamente 34,35 metros.

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