Um balão esférico de 1 m de diâmetro contém um gás a uma pressão de 200 kPa. O gás dentro do balão é aquecido até que a pressão atinja 500 kPa . Durante o processo de aquecimento, a pressão do gás dentro o balão é proporcional ao cubo do diâmetro do balão, ou seja, P=KD^3. Determine o trabalho realizado pelo gás dentro do balão

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um balão esférico de diâmetro inicial P = K,D^3 e pressão inicial . A gente esquenta o gás até a pressão chegar em . Durante esse processo a pressão varia com o cubo do diâmetro assim:
O que queremos é o trabalho feito pelo gás. Isso é conteúdo de Termodinâmica: trabalho de expansão . Pra resolver, vamos precisar
  1. da relação entre volume e diâmetro de uma esfera,
  2. determinar a constante ,
  3. expressar em função de ,
  4. integrar para achar .

Passo 2

Primeiro, a relação volume-diâmetro de uma esfera é
V = pi6,D^3
Como 200 = K,(1)^3 Longrightarrow K = 200 (kPa/m^3) , na condição inicial ( 500 = 200,D2^3 Longrightarrow D2^3 = 2,5 Longrightarrow D2 = raiz[3]2,5 , V1 = pi6,(1)^3 = pi6, V2 = pi6,D2^3 = pi6,(2,5) = 2,5,pi6 ) a gente acha
Para a condição final, , temos
Agora calculamos os volumes iniciais e finais:

Passo 3

A gente quer P = K,D^3 e D^3 = 6pi,V, . Mas como
P = 200;6pi;V = 1200pi;V
substituindo dá
Ou seja, cresce linearmente com .

Passo 4

Agora é só integrar:
W = integralV1^V2P,dV = integralV1^V21200pi,V,dV = 1200pi;V^22g|V1^V2 = 600pil(V2^2 - V1^2r)
Substituindo W = 600pi![l(tfrac2,5,pi6r)^2 - l(tfracpi6r)^2] = 87,5,pi kPacdot m^3 e W approx 87,5;pi approx 274,9 kJ :
Lembrando que ,

Resposta

O trabalho realizado pelo gás é aproximadamente
boxed275 kJ

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