Um balão esférico de 1 m de diâmetro contém um gás a uma pressão de 200 kPa. O gás dentro do balão é aquecido até que a pressão atinja 500 kPa . Durante o processo de aquecimento, a pressão do gás dentro o balão é proporcional ao cubo do diâmetro do balão, ou seja, . Determine o trabalho realizado pelo gás dentro do balão
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um balão esférico de diâmetro inicial e pressão inicial . A gente esquenta o gás até a pressão chegar em . Durante esse processo a pressão varia com o cubo do diâmetro assim:
O que queremos é o trabalho feito pelo gás. Isso é conteúdo de Termodinâmica: trabalho de expansão . Pra resolver, vamos precisar
da relação entre volume e diâmetro de uma esfera,
determinar a constante ,
expressar em função de ,
integrar para achar .
Passo 2
Primeiro, a relação volume-diâmetro de uma esfera é
Como , na condição inicial (, ) a gente acha
Para a condição final, , temos
Agora calculamos os volumes iniciais e finais:
Passo 3
A gente quer . Mas como
substituindo dá
Ou seja, cresce linearmente com .
Passo 4
Agora é só integrar:
Substituindo W = 600pi![l(tfrac2,5,pi6r)^2 - l(tfracpi6r)^2] = 87,5,pi kPacdot m^3 e W approx 87,5;pi approx 274,9 kJ :