Um balão esférico é inflado e seu raio aumenta a uma taxa de
.
Se
for o volume do balão como função do raio, encontre
e interprete-a.
Se
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos um balão esférico cujo raio cresce a
. Queremos trabalhar com a função volume
em termos do raio
, montar a composição
e entender o que isso significa. O conteúdo principal aqui é “função composta” e “volume de uma esfera”. Vamos precisar da fórmula do volume em função do raio e da ideia de substituir uma função dentro da outra.
Passo 2
Antes de tudo, lembra da fórmula do volume de uma esfera:
Além disso, como o raio é uma função do tempo (vamos chamar de
), e sabemos que ele cresce a
, então
Por enquanto não precisamos do valor inicial de
; o que importa é que
é função de
.
Passo 3
Agora vamos montar a composição
, ou seja, substituir
por
na fórmula do volume:
Isso já é a expressão do volume do balão em função do tempo.
Passo 4
Interpretação:
é simplesmente o volume do balão no instante
. Em vez de pensar “volume em função do raio”, agora temos “volume em função do tempo”, já incorporando o crescimento do raio ao longo dos segundos.
Resposta
que é o volume do balão como função do tempo, mostrando como o volume aumenta conforme o raio cresce a
.