Um balão esférico é inflado e seu raio aumenta a uma taxa de 2 cm / s.
Se V for o volume do balão como função do raio, encontre V circ r e interprete-a.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um balão esférico cujo raio cresce a 2 cm/s. Queremos trabalhar com a função volume V em termos do raio r, montar a composição Vcirc r e entender o que isso significa. O conteúdo principal aqui é “função composta” e “volume de uma esfera”. Vamos precisar da fórmula do volume em função do raio e da ideia de substituir uma função dentro da outra.

Passo 2

Antes de tudo, lembra da fórmula do volume de uma esfera:
V(r) = 43,pi,r^3
Além disso, como o raio é uma função do tempo (vamos chamar de r(t)), e sabemos que ele cresce a 2 cm/s, então
drdt = 2
Por enquanto não precisamos do valor inicial de r; o que importa é que r é função de t.

Passo 3

Agora vamos montar a composição Vcirc r, ou seja, substituir r por r(t) na fórmula do volume:
(Vcirc r)(t) ;=; Vl(r(t)r);=;43,pi,[r(t)]^3
Isso já é a expressão do volume do balão em função do tempo.

Passo 4

Interpretação: (Vcirc r)(t) é simplesmente o volume do balão no instante t. Em vez de pensar “volume em função do raio”, agora temos “volume em função do tempo”, já incorporando o crescimento do raio ao longo dos segundos.

Resposta

(Vcirc r)(t) ;=;43,pi,[r(t)]^3,
que é o volume do balão como função do tempo, mostrando como o volume aumenta conforme o raio cresce a 2 cm/s.

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