Nos exercícios 17. a 22., determine f circ g e g circ f.
f(x)=(2 x+x^2)^4, g(x)=cos ^2 x

Passo 1

Beleza, então a questão pede pra gente achar as composições de duas funções:
  • f(x) =
  • g(x) =
Conteúdo e ferramentas que a gente vai usar:
  • Entender o que é composição de funções: significa “pegar g(x) e botar dentro de f”.
  • Saber manipular potências e substituições simples.
  • Lembrar que é o mesmo que .

Passo 2

Vamos começar com (fcirc g)(x) ;=; fl(g(x)r) . Por definição:
fl(g(x)r) = l(2,[g(x)] ;+; [g(x)]^2r)^4 = l(2cos^2 x ;+; (cos^2 x)^2r)^4
  1. Primeiro identificamos (fcirc g)(x) = l(2cos^2 x + cos^4 xr)^4 : é .
  2. Agora substituímos todo “x” de por .
f(x) tem a forma . Então
  1. A gente pode notar que . Logo:

Passo 3

Agora vamos em (gcirc f)(x) ;=; gl(f(x)r) . Por definição:
gl(f(x)r) = cos^2l(f(x)r) = cos^2!l((2x + x^2)^4r)
  1. Aqui .
  2. Em , o “u” está elevado ao quadrado: .
  3. Então substituímos por :
Não dá pra simplificar muito mais a parte do cosseno, então fica assim mesmo.

Resposta

(f∘g)(x) =
(g∘f)(x) =

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