Numa certa fábrica, a espessura de peças produzidas segue uma distribuição normal de média 18 mm e desvio padrão 2 mm . Uma peça é considerada defeituosa e é descartada se a sua espessura for inferior a 15 mm ou superior a 21 mm .
Sorteadas 5 peças ao acaso, qual é a probabilidade se ter no mínimo 4 defeituosas?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui. A fábrica produz peças cuja espessura é uma variável aleatória X < 15 ou X > 21 com distribuição Normal de média mm e desvio padrão mm. Uma peça é considerada defeituosa se:
A gente sorteia peças e quer saber a probabilidade de ter no mínimo 4 peças defeituosas.
Conteúdo usado:
  • Distribuição Normal (cálculo de probabilidades via padronização ).
  • Distribuição Binomial (para “sucesso” = peça defeituosa).

Passo 2

Primeiro, vamos achar Z = X - 182 , a probabilidade de uma peça ser defeituosa.
  1. Padronizamos P(X < 15) = Pl(Z < 15 - 182r) = P(Z < -1.5), para P(X > 21) = Pl(Z > 21 - 182r) = P(Z > 1.5) :
P(Z < -1.5) = 0.0668, P(Z > 1.5) = 0.0668
  1. Calculamos
p = 0.0668 + 0.0668 = 0.1336
Pelos valores da tabela Normal:
Então

Passo 3

Agora, o número de peças defeituosas em 5 peças segue uma binomial P(Y >= 4) = P(Y = 4) + P(Y = 5) . Queremos
P(Y = k) = binom5k,p^k,(1-p)^5-k,
Usando a fórmula
P(Y = 4) = binom54(0.1336)^4(0.8664)^1 = 5 times (0.1336)^4 times 0.8664,
temos
P(Y = 5) = binom55(0.1336)^5(0.8664)^0 = (0.1336)^5

Resposta

Somando as duas:
P(Y >= 4) approx 5 times (0.1336)^4 times 0.8664 ;+; (0.1336)^5 ;approx; 0.00142
Então a chance de, em 5 peças, sair pelo menos 4 defeituosas é cerca de 0,14%.

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