Um balão esférico ao ser inflado tem seu raio dado em função do tempo pela expressão r(t)=3 raiz[3]t+8 para 0 <= t <= 10. Determine a taxa de variação em relação ao tempo das seguintes grandezas em t=8 : área da superfície do balão A(t)

Passo 1

O enunciado dá o raio do balão esférico como r(t)=3raiz[3]t+8 para 0<= t<=10, e pede a taxa de variação da área da superfície, que envolve derivadas e a fórmula da área de uma esfera.

Passo 2

A área da superfície de uma esfera de raio r é A(t)=4pi,r(t)^2Para achar dfracdAdt usamos a regra da cadeia: dAdt=dAdrcdotdrdt=8pi,r(t),drdt Precisamos então de r(8) e de dr/dt. Como r(t)=3(t+8)^1/3, temos
drdt=3cdot13(t+8)^-2/3= (t+8)^-2/3

Passo 3

Em t=8 vale r(8)=3raiz[3]16=6raiz[3]2 e drdt|t=8=16^-2/3=2^-8/3Substituindo em dfracdAdt=8pi,r(8),dr/dt, temos
dAdt|t=8=8picdot6raiz[3]2cdot2^-8/3=48pi,2^-5/3=12pi,2^-1/3=12piraiz[3]2

Resposta

dfrac12piraiz[3]2

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