Nas funções f abaixo, calcule f^prime e f^prime prime, se existirem. f(x)=ln (e^x^2 x)

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função f(x)=lnl(e^x^2xr). O conteúdo é cálculo de derivadas de funções compostas e logaritmos. Vamos usar propriedades do logaritmo, além das regras de derivação para funções polinomiais, exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Usar propriedade do logaritmo do produto e de potência. Como ln(ab)=ln a+ln b e ln(e^x^2)=x^2, reescrevemos
f(x)=ln(e^x^2)+ln x = x^2 + ln x

Passo 3

Derivar f(x)=x^2+ln x. A derivada de x^2 é 2x e a de ln x é 1/x. Logo,
f'(x)=2x + 1x

Passo 4

Derivar f'(x)=2x+1/x. A derivada de 2x é 2 e a de 1/x é -1/x^2. Assim,
f''(x)=2 - 1x^2

Passo 5

Analisar existência: Como aparece ln x, o domínio é x>0. Nos valores de domínio ambas as derivadas existem.

Resposta

As derivadas são f'(x)=2x+dfrac1x e f''(x)=2-dfrac1x^2, válidas para x>0.

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