Nas funções f abaixo, calcule f^prime e f^prime prime, se existirem. f(x)=sen(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas primeira e segunda de f(x)=sen(x²+1). Vamos usar derivada de função composta (regra da cadeia) e, na segunda derivada, também a regra do produto.

Passo 2

Para calcular f’(x), note que f(x)=sen(u) com u=x²+1. Pela regra da cadeia a derivada é cos(u)·u’. Como u’(x)=2x, temos
f'(x)=cos(x^2+1)cdot 2x=2xcos(x^2+1)

Passo 3

Para f’’(x) derivamos f’(x)=2x\cos(x^2+1). Aplicando regra do produto: derivada de 2x é 2, e derivada de cos(u) pela regra da cadeia é -sin(u)·u’. Como u’=2x,
f''(x)=2cos(x^2+1)+2xl(-sin(x^2+1)cdot2xr)=2cos(x^2+1)-4x^2sin(x^2+1)

Resposta

f'(x)=2xcos(x^2+1), f''(x)=2cos(x^2+1)-4x^2sin(x^2+1)

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