Um balão esférico ao ser inflado tem seu raio dado em função do tempo pela expressão para . Determine a taxa de variação em relação ao tempo das seguintes grandezas em : volume do balão , onde a área da superfície do balão é dada por , e o volume do balão é .
Passo 1
Temos um balão esférico cujo raio varia conforme para . Queremos encontrar as taxas de variação da área de superfície e do volume no instante . Para isso, vamos usar a regra da cadeia e derivadas de potências.
Passo 2
Para começar, calculamos a derivada de . Como , aplicando derivada de potência e a constante 3, temos:
Passo 3
Agora, para a área de superfície definimos . Aplicando a regra da cadeia (derivada de multiplicada por ), obtemos: