Um balão esférico ao ser inflado tem seu raio dado em função do tempo pela expressão r(t)=3 raiz[3]t+8 para 0 <= t <= 10. Determine a taxa de variação em relação ao tempo das seguintes grandezas em t=8 : volume do balão V(t), onde a área da superfície do balão é dada por A=4 pi r^2, e o volume do balão é V=43 pi r^3.

Passo 1

Temos um balão esférico cujo raio varia conforme r(t)=3raiz[3]t+8 para 0<= t<=10. Queremos encontrar as taxas de variação da área de superfície A(t)=4pi r^2 e do volume V(t)=tfrac43pi r^3 no instante t=8. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e derivadas de potências.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada de r(t). Como r(t)=3(t+8)^1/3, aplicando derivada de potência e a constante 3, temos:
drdt=3cdot13(t+8)^-2/3=(t+8)^-2/3

Passo 3

Agora, para a área de superfície definimos A(t)=4pi [r(t)]^2. Aplicando a regra da cadeia (derivada de r^2 multiplicada por dr/dt), obtemos:
dAdt=4picdot2rcdotdrdt=8pi,r,drdt

Passo 4

Vamos avaliar esses termos em t=8. Primeiro:
r(8)=3raiz[3]8+8=3raiz[3]16,
drdt|t=8=16^-2/3
Substituindo em dA/dt:
dAdt|t=8=8picdot3raiz[3]16cdot16^-2/3=24pi,16^-1/3

Passo 5

Em seguida, fazemos o mesmo para o volume. Com V(t)=tfrac43pi [r(t)]^3, aplicamos regra da cadeia (derivada de r^3 vezes dr/dt):
dVdt=43picdot3r^2cdotdrdt=4pi,r^2,drdt

Passo 6

Avaliamo-lo em t=8 usando os valores já obtidos de r(8) e dr/dt|8:
dVdt|t=8=4pil(3raiz[3]16r)^2cdot16^-2/3=36pi

Resposta

dAdt|t=8=24pi,16^-1/3=12piraiz[3]2edVdt|t=8=36pi

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