Usando as regras de derivação, calcule a derivada das funções abaixo: f(x)=e^x cdot sen xln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)= e^xsin xln x. Vamos usar regras de derivação: derivada de exponencial, derivada de seno, produto e quociente.

Passo 2

Calcular a derivada do numerador N(x)= e^xsin x usando a regra do produto: N’(x)= e^xsin x + e^xcos x = e^x(sin x + cos x).
Calcular a derivada do denominador D(x)= ln x: D’(x)= 1/x.

Passo 3

Aplicar a regra do quociente: f’(x)= N'(x)D(x)-N(x)D'(x)[D(x)]^2. Substituindo N, N’, D e D’ obtemos f’(x)= e^x(sin x+cos x)ln x - e^xsin xcdot(1/x)(ln x)^2.
Fatorar e^x no numerador para simplificar: f’(x)= e^xl((sin x+cos x)ln x - sin xxr)(ln x)^2.

Resposta

f'(x)=e^xl((sin x+cos x)ln x - sin xxr)(ln x)^2

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