Nas funções
abaixo, calcule
e
, se existirem.
Passo 1
Aqui a ideia é achar as derivadas primeira e segunda da função racional com raiz no denominador usando regra do produto e da cadeia, além de simplificar bem o resultado.
Passo 2
Vamos reescrever a função de um jeito que facilite a derivação. Seja
Aqui definimos g(x)=3x^2+2x-1 e h(x)=(x+2)^{-1/2}.
Passo 3
Primeiro calculamos a derivada de f usando a regra do produto f’=g’·h+g·h’. Temos:
Logo
Passo 4
Agora vamos colocar num único quociente. Fatoramos (x+2)^{-3/2}:
Expandindo e simplificando o numerador obtemos
Passo 5
Para f’’ vamos derivar essa expressão. Mais fácil é ver
e aplicar produto+cadeia de novo. Chamando u(x)=9x^2+26x+9 e v(x)=(x+2)^{-3/2}, temos
com u’(x)=18x+26 e v’(x)=-\tfrac32(x+2)^{-5/2}.
Passo 6
Fazendo as contas e juntando num só quociente, chega-se a
Resposta
f’(x)=\displaystyle \frac{9x2+26x+9}{2,(x+2){3/2}},\quad f’’(x)=\displaystyle \frac{9x2+46x+77}{4,(x+2){5/2}}