Nas funções f abaixo, calcule f^prime e f^prime prime, se existirem. f(x)=3 x^2+2 x-1raizx+2

Passo 1

Aqui a ideia é achar as derivadas primeira e segunda da função racional com raiz no denominador usando regra do produto e da cadeia, além de simplificar bem o resultado.

Passo 2

Vamos reescrever a função de um jeito que facilite a derivação. Seja
f(x)=3x^2+2x-1raizx+2=(3x^2+2x-1),(x+2)^-tfrac12
Aqui definimos g(x)=3x^2+2x-1 e h(x)=(x+2)^{-1/2}.

Passo 3

Primeiro calculamos a derivada de f usando a regra do produto f’=g’·h+g·h’. Temos:
g'(x)=6x+2, h'(x)=-tfrac12(x+2)^-3/2
Logo
f'(x)=(6x+2)(x+2)^-1/2-(3x^2+2x-1)tfrac12(x+2)^-3/2

Passo 4

Agora vamos colocar num único quociente. Fatoramos (x+2)^{-3/2}:
f'(x)=(6x+2)(x+2)-tfrac12(3x^2+2x-1)(x+2)^3/2
Expandindo e simplificando o numerador obtemos
f'(x)=9x^2+26x+92,(x+2)^3/2

Passo 5

Para f’’ vamos derivar essa expressão. Mais fácil é ver
f'(x)=tfrac12(9x^2+26x+9)(x+2)^-3/2
e aplicar produto+cadeia de novo. Chamando u(x)=9x^2+26x+9 e v(x)=(x+2)^{-3/2}, temos
f''(x)=tfrac12l(u'v+u,v'r)
com u’(x)=18x+26 e v’(x)=-\tfrac32(x+2)^{-5/2}.

Passo 6

Fazendo as contas e juntando num só quociente, chega-se a
f''(x)=9x^2+46x+774,(x+2)^5/2

Resposta

f’(x)=\displaystyle \frac{9x2+26x+9}{2,(x+2){3/2}},\quad f’’(x)=\displaystyle \frac{9x2+46x+77}{4,(x+2){5/2}}

Exercícios relacionados