(2 pontos) Calcule as integrais múltiplas a seguir:
integral0^pi integral0^2 y sen(x y) d x d y;

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular a integral dupla
integraly=0^pi integralx=0^2 ysin(xy) ,dx,dy
O tema é integrais múltiplas, e vamos usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração (ou simplesmente integrar em x primeiro), além de aplicar substituição para resolver a integral em x.

Passo 2

Vamos integrar primeiro em x, tratando y como constante. Definimos a substituição
u = x y, dnu = y,dx,
o que transforma
integral0^2 ysin(xy) ,dx = integralnu=0^2y sin(nu) ,dnu = [-cos(nu)]0^2y = 1 - cos(2y)

Passo 3

Agora integramos em y o resultado que encontramos. Temos
integral0^pi l(1 - cos(2y)r) ,dy = integral0^pi 1,dy - integral0^pi cos(2y),dy
A primeira parte é pi. Na segunda parte usamos
integral cos(2y),dy = sin(2y)2,
o que dá
l[sin(2y)2r]0^pi = sin(2pi) - sin(0)2 = 0

Passo 4

Somando as parcelas da integral em y obtemos
pi - 0 = pi
Portanto, o valor da integral dupla é pi.

Resposta

pi

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