Um balão de festa infantil está eletricamente carregado, e é capaz de atrair confetes a uma distância de 5 cm de sua superfície. Sabendo que o raio do balão é 10 cm , que a densidade do papel é aproximadamente 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, e que sua constante dielétrica é 4 , estime a densidade superficial de cargas no balão.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a densidade superficial de carga \sigma de um balão esférico de raio R=10\:\text{cm} que atrai confetes a uma distância d=5\:\text{cm} da sua superfície.
Conteúdo: atração de um objeto neutro polarizável por um campo elétrico não homogêneo. Vamos modelar cada confete como um pequeno bloco de papel (densidade \rho=1\:\text{g/cm}^3, constante dielétrica \varepsilon_r=4) com volume V arbitrário; veremos que a resposta independe de V. A força elétrica de atração é o gradiente da energia de um dipolo induzido, e deve equilibrar o peso mg no ponto mais afastado r=R+d.

Passo 2

Polarizabilidade do confete:
\alpha = 3\,\varepsilon_0\,V\,\frac{\varepsilon_r -1}{\varepsilon_r+2} =3\,\varepsilon_0\,V\,\frac{4-1}{4+2} = \tfrac{3}{2}\,\varepsilon_0\,V.
Campo elétrico fora de uma esfera carregada com densidade superficial \sigma:
E(r)=\frac{\sigma\,4\pi R^2}{4\pi\varepsilon_0\,r^2} =\frac{\sigma\,R^2}{\varepsilon_0\,r^2}.
Força sobre um dipolo induzido num campo não homogêneo:
F(r)=\tfrac12\,\alpha\,\frac{d}{dr}E^2(r).
Como
E^2(r)=\Bigl(\tfrac{\sigma\,R^2}{\varepsilon_0\,r^2}\Bigr)^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dr}E^2(r) =-4\,\frac{(\sigma\,R^2)^2}{\varepsilon_0^2\,r^5},
temos
F(r) =\tfrac12\,\alpha\, \Bigl(-4\,\frac{(\sigma\,R^2)^2}{\varepsilon_0^2\,r^5}\Bigr) =2\,\alpha\,\frac{(\sigma\,R^2)^2}{\varepsilon_0^2\,r^5}.

Passo 3

No ponto de maior distância r=R+d esse F deve igualar o peso mg. Como m=\rho V,
2\,\alpha\,\frac{(\sigma\,R^2)^2}{\varepsilon_0^2\,(R+d)^5} =\rho V\,g.
Substituindo \alpha=\tfrac32\varepsilon_0 V e rearranjando para \sigma, cancelam-se os V:
2\,\bigl(\tfrac32\varepsilon_0 V\bigr)\, \frac{(\sigma\,R^2)^2}{\varepsilon_0^2\,(R+d)^5} =\rho V\,g \quad\Longrightarrow\quad \sigma^2 =\frac{\rho\,g\,\varepsilon_0^2\,(R+d)^5} {3\,\varepsilon_0\,R^4} =\frac{\rho\,g\,\varepsilon_0\,(R+d)^5}{3\,R^4}.
Numericamente, em SI \rho=1000\:\text{kg/m}^3, R=0,10\:\text{m}, d=0,05\:\text{m}, g=9,8\:\text{m/s}^2, \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\:\text{F/m}:
\sigma \approx 5\times10^{-4}\:\mathrm{C/m^2}.

Resposta

A densidade superficial de cargas no balão é da ordem de
\sigma\approx5\times10^{-4}\:\mathrm{C/m^2}.

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