Um balão flexível contém 1,0 \mathrm{~mol} de gás a 1,0 \mathrm{~atm} e 300 K . Ele sobe até uma altitude onde a pressão é 3,0 \times 10^{-3} \mathrm{~atm} e a temperatura 250 K .
a. Calcule o volume final supondo comportamento ideal.
b. Se o gás fosse real e seguisse a equação de van der Waals (dados de a e b fornecidos), explique qualitativamente como o resultado seria diferente.

Passo 1

Entendendo o que o problema pede e os dados fornecidos. Temos duas perguntas:
a. Calcular o volume final do gás supondo comportamento ideal.
b. Se o gás fosse real e obedecesse a equação de van der Waals (com os parâmetros a e b fornecidos), explicar qualitativamente como o resultado mudaria.
Dados numéricos do enunciado:
n=1{,}0\\ \mathrm{mol},\qquad P_1=1{,}0\\ \mathrm{atm},\qquad T_1=300\\ \mathrm{K},
P_2=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{atm},\qquad T_2=250\\ \mathrm{K}.
A parte (a) pede V_2 assumindo gás ideal. A parte (b) pede explicação qualitativa usando a equação de van der Waals com parâmetros a (atratividade) e b (volume excluído).

Passo 2

Revisão da lei dos gases ideais e escolha de constantes/ unidades. A lei dos gases ideais é
PV=nRT,
onde
P é a pressão (unidade: \mathrm{atm} aqui),
V é o volume (unidade que escolhermos; vou usar litros \mathrm{L} e depois converter para \mathrm{m^3}),
n é a quantidade de substância em mol,
R é a constante dos gases, e
T é a temperatura em kelvin.
Escolhemos a forma da constante R compatível com \mathrm{atm} e \mathrm{L}:
R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Para obter V_2 isolamos V:
V=\frac{nRT}{P}.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao estado final ( P_2,T_2,n). Substituo os valores em litros:
V_2=\frac{nRT_2}{P_2}=\frac{1{,}0\times0{,}082057\times250}{3{,}0\times10^{-3}}\\ \mathrm{L}.
Faço as contas passo a passo:
nRT_2=1{,}0\times0{,}082057\times250=20{,}51425\\ \mathrm{L\cdot atm}.
Agora divido por P_2:
V_2=\frac{20{,}51425}{3{,}0\times10^{-3}}=6{,}838083\times10^{3}\\ \mathrm{L}.
Arredondando com três algarismos significativos:
V_2\approx6{,}84\times10^{3}\\ \mathrm{L}.
Convertendo para metros cúbicos ( 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^3}):
V_2\approx6{,}84\\ \mathrm{m^3}.

Passo 4

Interpretação física do resultado da parte (a). O volume ficou muito grande porque a pressão final é muito baixa; para manter PV=nRT com P pequeno e T moderado, V cresce bastante. Isso é consistente com um balão que se expande muito em altitudes de baixa pressão.

Passo 5

Apresentando a equação de van der Waals e o significado físico dos termos. A equação de van der Waals é
\left(P+\frac{a n^{2}}{V^{2}}\right)(V-nb)=nRT,
onde a mede a intensidade das forças de atração intermolecular (unidade típica: \mathrm{L^{2}\cdot atm\cdot mol^{-2}}) e b é o volume excluído por mol (unidade típica: \mathrm{L\cdot mol^{-1}}). Explicando intuitivamente:
  • O termo +\dfrac{a n^{2}}{V^{2}} corrige a pressão por conta das atrações: as atrações fazem com que as moléculas exerçam menos pressão nas paredes, então há um acréscimo formal nesse termo para recuperar a pressão “idealizada”.
  • O termo V-nb corrige o volume disponível: parte do volume total está ocupada pelo próprio tamanho das moléculas, então o volume efetivo para movimento é menor.

Passo 6

Análise qualitativa de como o resultado mudaria para este caso concreto. Para julgar o efeito com pouca álgebra, note como cada correção escala com V:
  • A correção de b aparece como uma subtração no volume efetivo; se ignorarmos a por enquanto, a equação vira aproximadamente P\approx nRT/(V-nb). Para uma pressão dada, isso implica V\approx V_{\text{ideal}}+nb. Ou seja, a presença de b faz com que o volume real necessário seja um pouco maior do que o ideal (porque parte do volume está “inacessível”).
  • A correção de a aparece como um termo \propto 1/V^{2}. Em volumes muito grandes (baixa pressão) esse termo fica muito pequeno, tipicamente muito menor que a correção de b (que escala como 1/V quando comparada a V). O efeito de a tende a reduzir a pressão efetiva e, isoladamente, faria com que o volume necessário para obter a pressão dada fosse ligeiramente menor, mas sua magnitude aqui é ínfima.
No nosso caso numérico o volume final é enorme ( \sim6{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{L}), portanto nb (que tem ordem de décimos ou centésimos de litro por mol, dependendo do gás) é desprezível em relação a V e a n^{2}/V^{2} é ainda mais desprezível. Logo:
  • A correção global da equação de van der Waals será extremamente pequena.
  • Ao primeiro exame, ignorando o termo em a, uma aproximação dá V_{\text{vdW}}\approx V_{\text{ideal}}+nb, ou seja, o volume real previsto pela van der Waals seria um pouco maior que o ideal, mas a diferença é da ordem de n b (tipicamente \sim10^{-2} a 10^{-1}\\ \mathrm{L} para muitos gases) — completamente insignificante diante de milhares de litros.
  • Se incluirmos o termo a, haverá uma contraposição (o termo em a tende a diminuir o volume necessário), mas esse efeito escala como 1/V^{2} e será muito menor que a contribuição de nb neste regime de baixíssima pressão. Portanto o resultado líquido costuma ser V_{\text{vdW}}\gtrsim V_{\text{ideal}}, com diferença negligível numericamente.

Passo 7

Comentário prático sobre solução exata e quando as diferenças importam. Se fosse preciso o valor exato no modelo de van der Waals, teríamos que resolver uma equação cúbica em V (não é difícil numericamente, mas exige mais trabalho analítico). Entretanto, para pressões tão baixas e volumes tão grandes, a solução van der Waals fica praticamente igual à ideal — só em pressões altas ou temperaturas próximas do ponto crítico as diferenças se tornam importantes.

Resposta

(a) V_2\approx6{,}84\times10^{3}\\ \mathrm{L}=6{,}84\\ \mathrm{m^3}.
(b) A equação de van der Waals daria um volume apenas ligeiramente diferente do ideal; aproximadamente V_{\text{vdW}}\approx V_{\text{ideal}}+nb (diferença da ordem de n b, muito pequena aqui), ou seja, V_{\text{vdW}} seria um pouco maior que V_{\text{ideal}}, mas a diferença é negligenciável nas condições dadas.

Exercícios relacionados