Um balão flexível contém
de gás a
e 300 K . Ele sobe até uma altitude onde a pressão é
e a temperatura 250 K .
a. Calcule o volume final supondo comportamento ideal.
b. Se o gás fosse real e seguisse a equação de van der Waals (dados de a e b fornecidos), explique qualitativamente como o resultado seria diferente.
a. Calcule o volume final supondo comportamento ideal.
b. Se o gás fosse real e seguisse a equação de van der Waals (dados de a e b fornecidos), explique qualitativamente como o resultado seria diferente.
Passo 1
Entendendo o que o problema pede e os dados fornecidos. Temos duas perguntas:
a. Calcular o volume final do gás supondo comportamento ideal.
b. Se o gás fosse real e obedecesse a equação de van der Waals (com os parâmetros e
fornecidos), explicar qualitativamente como o resultado mudaria.
a. Calcular o volume final do gás supondo comportamento ideal.
b. Se o gás fosse real e obedecesse a equação de van der Waals (com os parâmetros
Dados numéricos do enunciado:
A parte (a) pede
assumindo gás ideal. A parte (b) pede explicação qualitativa usando a equação de van der Waals com parâmetros
(atratividade) e
(volume excluído).
Passo 2
Revisão da lei dos gases ideais e escolha de constantes/ unidades. A lei dos gases ideais é
onde
é a pressão (unidade:
aqui),
é o volume (unidade que escolhermos; vou usar litros
e depois converter para
),
é a quantidade de substância em mol,
é a constante dos gases, e
é a temperatura em kelvin.
Escolhemos a forma da constante
compatível com
e
:
Para obter
isolamos
:
Passo 3
Aplicando a fórmula ao estado final (
). Substituo os valores em litros:
Faço as contas passo a passo:
Agora divido por
:
Arredondando com três algarismos significativos:
Convertendo para metros cúbicos (
):
Passo 4
Interpretação física do resultado da parte (a). O volume ficou muito grande porque a pressão final é muito baixa; para manter
com
pequeno e
moderado,
cresce bastante. Isso é consistente com um balão que se expande muito em altitudes de baixa pressão.
Passo 5
Apresentando a equação de van der Waals e o significado físico dos termos. A equação de van der Waals é
onde
mede a intensidade das forças de atração intermolecular (unidade típica:
) e
é o volume excluído por mol (unidade típica:
). Explicando intuitivamente:
- O termo
corrige a pressão por conta das atrações: as atrações fazem com que as moléculas exerçam menos pressão nas paredes, então há um acréscimo formal nesse termo para recuperar a pressão “idealizada”. - O termo
corrige o volume disponível: parte do volume total está ocupada pelo próprio tamanho das moléculas, então o volume efetivo para movimento é menor.
Passo 6
Análise qualitativa de como o resultado mudaria para este caso concreto. Para julgar o efeito com pouca álgebra, note como cada correção escala com
:
- A correção de
aparece como uma subtração no volume efetivo; se ignorarmos por enquanto, a equação vira aproximadamente . Para uma pressão dada, isso implica . Ou seja, a presença de faz com que o volume real necessário seja um pouco maior do que o ideal (porque parte do volume está “inacessível”). - A correção de
aparece como um termo . Em volumes muito grandes (baixa pressão) esse termo fica muito pequeno, tipicamente muito menor que a correção de (que escala como quando comparada a ). O efeito de tende a reduzir a pressão efetiva e, isoladamente, faria com que o volume necessário para obter a pressão dada fosse ligeiramente menor, mas sua magnitude aqui é ínfima.
No nosso caso numérico o volume final é enorme (
), portanto
(que tem ordem de décimos ou centésimos de litro por mol, dependendo do gás) é desprezível em relação a
e
é ainda mais desprezível. Logo:
- A correção global da equação de van der Waals será extremamente pequena.
- Ao primeiro exame, ignorando o termo em
, uma aproximação dá , ou seja, o volume real previsto pela van der Waals seria um pouco maior que o ideal, mas a diferença é da ordem de (tipicamente a para muitos gases) — completamente insignificante diante de milhares de litros. - Se incluirmos o termo
, haverá uma contraposição (o termo em tende a diminuir o volume necessário), mas esse efeito escala como e será muito menor que a contribuição de neste regime de baixíssima pressão. Portanto o resultado líquido costuma ser , com diferença negligível numericamente.
Passo 7
Comentário prático sobre solução exata e quando as diferenças importam. Se fosse preciso o valor exato no modelo de van der Waals, teríamos que resolver uma equação cúbica em
(não é difícil numericamente, mas exige mais trabalho analítico). Entretanto, para pressões tão baixas e volumes tão grandes, a solução van der Waals fica praticamente igual à ideal — só em pressões altas ou temperaturas próximas do ponto crítico as diferenças se tornam importantes.
Resposta
(a)
(b) A equação de van der Waals daria um volume apenas ligeiramente diferente do ideal; aproximadamente (diferença da ordem de
, muito pequena aqui), ou seja,
seria um pouco maior que
, mas a diferença é negligenciável nas condições dadas.
(b) A equação de van der Waals daria um volume apenas ligeiramente diferente do ideal; aproximadamente