Um balão mantém a forma esférica quando é inflado. Encontre a taxa de variação da área da superfície em relação ao raio no instante em que o raio é igual a 6 cm .
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre a forma de um balão quando ele é inflado, que mantém uma forma esférica. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente relacionado a taxas de variação. Precisamos descobrir como a área da superfície da esfera muda em relação ao seu raio quando o raio é de 6 cm.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da área da superfície de uma esfera. A área $ A $ de uma esfera com raio $ r $ é dada por:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a taxa de variação da área em relação ao raio, ou seja, $ \frac{dA}{dr} $. Isso significa que vamos derivar a fórmula da área em relação a $ r $.
Passo 4
Derivando a expressão $ A = 4\pi r^2 $ em relação a $ r $, temos:
Ela foi simplificada assim porque a derivada de $ r^2 $ é $ 2r $, e multiplicamos por 4π.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor dessa taxa de variação quando $ r = 6 $ cm. Basta substituir $ r $ por 6 na expressão que encontramos:
Resposta
A taxa de variação da área da superfície em relação ao raio quando o raio é 6 cm é: