Um balão mantém a forma esférica quando é inflado. Encontre a taxa de variação da área da superfície em relação ao raio no instante em que o raio é igual a 6 cm .

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre a forma de um balão quando ele é inflado, que mantém uma forma esférica. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente relacionado a taxas de variação. Precisamos descobrir como a área da superfície da esfera muda em relação ao seu raio quando o raio é de 6 cm.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da área da superfície de uma esfera. A área $ A $ de uma esfera com raio $ r $ é dada por:
A

Passo 3

Agora, queremos encontrar a taxa de variação da área em relação ao raio, ou seja, $ \frac{dA}{dr} $. Isso significa que vamos derivar a fórmula da área em relação a $ r $.

Passo 4

Derivando a expressão $ A = 4\pi r^2 $ em relação a $ r $, temos:
A = 4pi r^2
Ela foi simplificada assim porque a derivada de $ r^2 $ é $ 2r $, e multiplicamos por 4π.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor dessa taxa de variação quando $ r = 6 $ cm. Basta substituir $ r $ por 6 na expressão que encontramos:
r = 6

Resposta

A taxa de variação da área da superfície em relação ao raio quando o raio é 6 cm é:
dAdr = 48pi , cm^2/cm

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