Um balão de ar quente e sua carga (sem incluir o ar interno) tem massa de 620 kg. O ar externo tem uma temperatura de 11 °C e pressão de 101 kPa. O volume do balão quando inflado é de 1290 m³. Considere que a massa molar do ar é de 29.0 g / mo<= e R=8.315 J / mol cdot K.
Obtenha a densidade do ar à temperatura de 11 °C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um balão de ar quente que tem uma massa total (incluindo a carga) de 620 kg. Sabemos também a temperatura e pressão do ar externo, além do volume que o balão ocupa quando está inflado. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a densidade do ar nessa temperatura de 11 °C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados à densidade e à Lei dos Gases Ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é densidade. Densidade é basicamente a quantidade de massa que existe em um certo volume. A fórmula para densidade ( rho) é:
rho = mV
Onde:
  • m é a massa
  • V é o volume

Passo 3

No problema, queremos encontrar a densidade do ar externo que está a 11 °C e pressão de 101 kPa. Para isso, precisamos relacionar essa densidade com as informações fornecidas usando a Lei dos Gases Ideais, que é uma equação que relaciona pressão, volume, temperatura e quantidade de substância de um gás. A fórmula da Lei dos Gases Ideais é:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão
  • V é o volume
  • n é a quantidade de substância em moles
  • R é a constante dos gases (8.315 J/(mol·K))
  • T é a temperatura em Kelvin

Passo 4

Vamos reorganizar a Lei dos Gases Ideais para encontrar a densidade. Sabemos que n = mM, onde M é a massa molar do ar. Substituindo isso na equação, fica:
PV = mM RT
Agora, vamos isolar m/V, que é a densidade ( rho):
rho = mV = P MR T

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula. Mas antes, precisamos garantir que todas as unidades estejam coerentes.
  • Pressão ( P): 101 kPa = 101,000 Pa (1 kPa = 1,000 Pa)
  • Massa molar ( M): 29.0 g/mol = 0.029 kg/mol (convertendo para kg)
  • R: 8.315 J/(mol·K)
  • Temperatura ( T): 11 °C = 284 K (já que TK = TC + 273)

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
rho = 101,000 , Pa times 0.029 , kg/mol8.315 , J/(mol·K) times 284 , K

Passo 7

Agora, vamos calcular o numerador e o denominador separadamente para facilitar.
Numerador:
101,000 times 0.029 = 2,929 , Pa·kg/mol
Denominador:
8.315 times 284 = 2,362.06 , J/K

Passo 8

Dividindo o numerador pelo denominador:
rho = 2,9292,362.06 approx 1.24 , kg/m^3

Resposta

A densidade do ar à temperatura de 11 °C é aproximadamente 1,24 kg/m³.

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