Um balão de ar quente sobe verticalmente com uma taxa de 25 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e está a 80 metros de altura quando um tripulante deixa cair um saco de areia. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade igual a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) Quanto tempo leva para o saco de areia atingir a altura máxima?
(A) 2,5 \mathrm{~s}.
(B) 3,5 \mathrm{~s}.
(c) 4,5 \mathrm{~s}.
b) Qual o valor da altura máxima?
(A) 91,25 \mathrm{~m}.
(B) 81,25 \mathrm{~m}.
(C) 86,25 \mathrm{~m}.
c) Qual o tempo total para o saco de areia atingir o solo?
(A) 6,77 \mathrm{~s}.
(B) 5,77 \mathrm{~s}.
(C) 4,77 \mathrm{~s}.
d) Qual o módulo da velocidade do saco de areia quando ele chega no solo?
(A) 46,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(B) 42,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(C) 43,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

Resumo do enunciado: um balão sobe a \,25\text{ m/s} e, quando está a 80\text{ m} de altura, um tripulante solta um saco de areia. Desprezamos resistência do ar e tomamos g=10\text{ m/s}^2. Vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado no eixo vertical para (a) tempo até a velocidade nula (altura máxima), (b) calcular essa altura máxima, (c) tempo total até o saco atingir o solo e (d) módulo da velocidade ao chegar no solo.

Passo 2

Para achar o tempo \,t_{\rm up} até o saco atingir velocidade zero partindo de v_0=+25\text{ m/s}, usamos
v = v_0 - g\,t
e impomos v=0. Assim,
0 = 25 - 10\,t_{\rm up} \quad\Longrightarrow\quad t_{\rm up} = \frac{25}{10} = 2{,}5\text{ s}.

Passo 3

A altura máxima H_{\max} mede-se a partir do solo:
H_{\max} = H_0 + v_0\,t_{\rm up} - \tfrac12\,g\,t_{\rm up}^2,
onde H_0=80\text{ m}. Portanto,
H_{\max} = 80 + 25\cdot 2{,}5 - \tfrac12\cdot10\cdot(2{,}5)^2 = 80 + 62{,}5 - 31{,}25 = 111{,}25\text{ m}.

Passo 4

Para o tempo total até o saco atingir o solo, resolvemos
y(t)=H_0 + v_0\,t - \tfrac12\,g\,t^2 = 0
ou seja
-5\,t^2 + 25\,t + 80 = 0.
Multiplicando por -1 e dividindo por 5:
t^2 - 5\,t - 16 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 + 4\cdot16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 64}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{2}.
A raiz positiva é
t_{\rm total} = \frac{5 + \sqrt{89}}{2}\approx \frac{5 + 9{,}433}{2}\approx 7{,}22\text{ s}.

Passo 5

O módulo da velocidade ao chegar ao solo é
v(t_{\rm total}) = v_0 - g\,t_{\rm total} = 25 - 10\cdot7{,}22 \approx 25 - 72{,}2 = -47{,}2\text{ m/s},
cujo módulo é 47{,}2\text{ m/s}.

Resposta

a) 2{,}5\text{ s}.
b) 111{,}25\text{ m}.
c) 7{,}22\text{ s}.
d) 47{,}2\text{ m/s}.

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