Um balão de ar quente está subindo à taxa de
e está
acima do chão quando se solta um pacote pela lateral.
(a) (RA1) Como pode ser classificado o movimento realizado pelo pacote? Justifique.
(b) (RA1) O fato de o pacote estar dentro do balão em movimento altera o tempo de queda dele? Ou seria mesmo que ser solto de uma posição fixa em relação ao solo? Justifique.
(c) (RA2) Qual a altura máxima que ele atinge?
(d) (RA2) Quanto tempo o pacote leva para atingir o chão?
(a) (RA1) Como pode ser classificado o movimento realizado pelo pacote? Justifique.
(b) (RA1) O fato de o pacote estar dentro do balão em movimento altera o tempo de queda dele? Ou seria mesmo que ser solto de uma posição fixa em relação ao solo? Justifique.
(c) (RA2) Qual a altura máxima que ele atinge?
(d) (RA2) Quanto tempo o pacote leva para atingir o chão?
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (pegos do enunciado):
- No instante do lançamento o balão está a
acima do chão. - A velocidade vertical do balão (e, portanto, do pacote no instante da soltura) é
para cima. - A aceleração da gravidade é
apontando para baixo.
O enunciado pede:
(a) classificar o movimento do pacote e justificar;
(b) dizer se o fato de o pacote estar dentro do balão em movimento altera o tempo de queda, ou se seria o mesmo que soltá‑lo de uma posição fixa em relação ao solo (justificar);
(c) calcular a altura máxima que o pacote alcança;
(d) calcular o tempo que o pacote leva para atingir o chão.
Passo 2
Entender as condições iniciais e as forças atuantes (preparando a descrição do movimento).
- No instante da soltura o pacote tem posição inicial vertical
(tomando no chão e positiva para cima). - A velocidade inicial vertical é
(sinal positivo porque é para cima). - Após ser solto, desprezando resistência do ar, a única força relevante é o peso, que produz uma aceleração vertical constante para baixo de módulo
. Portanto a aceleração do pacote é constante: .
Vou usar estas quantidades nas fórmulas de movimento retilíneo uniformemente variado.
Passo 3
(a) Classificação do movimento — explicação passo a passo e justificativa.
- Definição útil: movimento com aceleração constante (não nula) ao longo de uma reta é chamado de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) ou movimento uniformemente acelerado.
- Aqui a aceleração é a gravidade
, constante em tempo (desprezando variações com altura) e aponta para baixo. - Conclusão: o pacote descreve um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) com aceleração constante
.
Observação extra (didática): isso significa que a posição verticale a velocidade obedecem às fórmulas padrão do MRUV, por exemplo:
onde
é a altura em metros no instante
e
é a velocidade vertical em
.
Passo 4
(b) O fato de o pacote estar dentro do balão em movimento altera o tempo de queda? Justificativa conceitual e cálculo comparativo rápido.
- Conceito chave: o que determina a trajetória e o tempo de queda após a soltura são as condições iniciais no referencial do chão: posição inicial
e velocidade inicial . Depois da soltura, o movimento é governado pelas equações do MRUV com aceleração . - Se o pacote é solto de um balão em movimento, isso apenas fixa
(no caso para cima). Se em vez disso fosse solto a partir de uma posição fixa em relação ao solo, a velocidade inicial seria diferente (por exemplo, se estivesse fixo em relação ao solo, ). Portanto o fato de ter vindo do balão altera o tempo de queda na medida em que altera . - Em suma: estar dentro do balão não acrescenta forças extras depois da soltura; porém altera o tempo de queda porque impõe uma velocidade inicial não nula. O tempo de queda depende de
e de , e não do “histórico” do objeto antes da soltura. - Exemplo numérico rápido para ver a diferença: se
e , o tempo de queda seria . Com o tempo será maior (vamos calcular no passo seguinte), mostrando que a velocidade inicial para cima aumentou o tempo total de queda.
Passo 5
(c) Altura máxima atingida — dedução da fórmula e cálculo numérico detalhado.
- Para achar a altura máxima, localizamos o instante em que a velocidade vertical se anula:
no ápice. - Usamos a fórmula do MRUV que relaciona velocidades e deslocamento sem precisar do tempo:
onde
é o deslocamento vertical até o ponto mais alto e
.
- Colocando
e obtemos:
- Interpretando as símbolos:
é a velocidade inicial para cima, é a aceleração da gravidade; é o quanto sobe a partir de . - Substituindo numericamente:
Arredondando de forma consistente com os dados,
.
- A altura máxima relativa ao solo é então
(Arredondei para três algarismos significativos:
.)
Passo 6
(d) Tempo até atingir o chão — derivação da equação e cálculo passo a passo.
- Usamos a equação da posição:
Queremos o instante
tal que
(queda até o chão).
- Montando a equação para
:
Multiplicando por
ou rearranjando em forma padrão de quadrática positiva:
- Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
com , , , as raízes são
Substituindo
,
, obtemos (fazendo as simplificações):
Duas soluções aparecem: uma negativa (tempo passado) e outra positiva (tempo futuro que queremos). Tomamos o sinal
.
- Substituindo os números:
Arredondando para três algarismos significativos:
.
- Checagem alternativa (didática): podemos dividir em subida e descida: tempo para subir até o ápice
. A partir do ápice (altura ) o tempo de queda até o chão é . Soma , consistente com o resultado anterior (diferenças mínimas por arredondamento).
Resposta
(a) Movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) com aceleração constante para baixo
.
(b) Estar dentro do balão não acrescenta forças após a soltura, mas altera o tempo de queda na medida em que impõe a velocidade inicial ; o tempo depende de
e
, não do “histórico” do objeto.
(c) .
(d) .
(b) Estar dentro do balão não acrescenta forças após a soltura, mas altera o tempo de queda na medida em que impõe a velocidade inicial
(c)
(d)