Um balão de ar quente está subindo à taxa de 12,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e está 80,0 \mathrm{~m} acima do chão quando se solta um pacote pela lateral.
(a) (RA1) Como pode ser classificado o movimento realizado pelo pacote? Justifique.
(b) (RA1) O fato de o pacote estar dentro do balão em movimento altera o tempo de queda dele? Ou seria mesmo que ser solto de uma posição fixa em relação ao solo? Justifique.
(c) (RA2) Qual a altura máxima que ele atinge?
(d) (RA2) Quanto tempo o pacote leva para atingir o chão?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • No instante do lançamento o balão está a 80,0\\ \mathrm{m} acima do chão.
  • A velocidade vertical do balão (e, portanto, do pacote no instante da soltura) é 12,0\\ \mathrm{m/s} para cima.
  • A aceleração da gravidade é \,g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}\, apontando para baixo.
    O enunciado pede:
    (a) classificar o movimento do pacote e justificar;
    (b) dizer se o fato de o pacote estar dentro do balão em movimento altera o tempo de queda, ou se seria o mesmo que soltá‑lo de uma posição fixa em relação ao solo (justificar);
    (c) calcular a altura máxima que o pacote alcança;
    (d) calcular o tempo que o pacote leva para atingir o chão.

Passo 2

Entender as condições iniciais e as forças atuantes (preparando a descrição do movimento).
  • No instante da soltura o pacote tem posição inicial vertical y_0=80,0\\ \mathrm{m} (tomando y=0 no chão e y positiva para cima).
  • A velocidade inicial vertical é v_0=+12,0\\ \mathrm{m/s} (sinal positivo porque é para cima).
  • Após ser solto, desprezando resistência do ar, a única força relevante é o peso, que produz uma aceleração vertical constante para baixo de módulo g. Portanto a aceleração do pacote é constante: a=-g=-9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    Vou usar estas quantidades nas fórmulas de movimento retilíneo uniformemente variado.

Passo 3

(a) Classificação do movimento — explicação passo a passo e justificativa.
  • Definição útil: movimento com aceleração constante (não nula) ao longo de uma reta é chamado de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) ou movimento uniformemente acelerado.
  • Aqui a aceleração é a gravidade a=-g, constante em tempo (desprezando variações com altura) e aponta para baixo.
  • Conclusão: o pacote descreve um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) com aceleração constante \,a=-g.
    Observação extra (didática): isso significa que a posição vertical y(t) e a velocidade v(t) obedecem às fórmulas padrão do MRUV, por exemplo:
y(t)=y_0+v_0 t-\tfrac{1}{2}g t^2,
v(t)=v_0-g t,
onde y(t) é a altura em metros no instante t e v(t) é a velocidade vertical em \mathrm{m/s}.

Passo 4

(b) O fato de o pacote estar dentro do balão em movimento altera o tempo de queda? Justificativa conceitual e cálculo comparativo rápido.
  • Conceito chave: o que determina a trajetória e o tempo de queda após a soltura são as condições iniciais no referencial do chão: posição inicial y_0 e velocidade inicial v_0. Depois da soltura, o movimento é governado pelas equações do MRUV com aceleração a=-g.
  • Se o pacote é solto de um balão em movimento, isso apenas fixa v_0 (no caso v_0=12,0\\ \mathrm{m/s} para cima). Se em vez disso fosse solto a partir de uma posição fixa em relação ao solo, a velocidade inicial seria diferente (por exemplo, se estivesse fixo em relação ao solo, v_0=0). Portanto o fato de ter vindo do balão altera o tempo de queda na medida em que altera v_0.
  • Em suma: estar dentro do balão não acrescenta forças extras depois da soltura; porém altera o tempo de queda porque impõe uma velocidade inicial não nula. O tempo de queda depende de v_0 e de y_0, e não do “histórico” do objeto antes da soltura.
  • Exemplo numérico rápido para ver a diferença: se v_0=0 e y_0=80,0\\ \mathrm{m}, o tempo de queda seria \,t=\sqrt{2y_0/g}\approx\sqrt{160/9{,}80}\approx4{,}04\\ \mathrm{s}. Com v_0=12{,}0\\ \mathrm{m/s} o tempo será maior (vamos calcular no passo seguinte), mostrando que a velocidade inicial para cima aumentou o tempo total de queda.

Passo 5

(c) Altura máxima atingida — dedução da fórmula e cálculo numérico detalhado.
  • Para achar a altura máxima, localizamos o instante em que a velocidade vertical se anula: v=0 no ápice.
  • Usamos a fórmula do MRUV que relaciona velocidades e deslocamento sem precisar do tempo:
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y,
onde \Delta y = y_{\max}-y_0 é o deslocamento vertical até o ponto mais alto e a=-g.
  • Colocando v=0 e a=-g obtemos:
0 = v_0^2 - 2 g \Delta y \quad\Rightarrow\quad \Delta y = \frac{v_0^2}{2g}.
  • Interpretando as símbolos: v_0 é a velocidade inicial para cima, g é a aceleração da gravidade; \Delta y é o quanto sobe a partir de y_0.
  • Substituindo numericamente:
\Delta y = \frac{(12{,}0)^2}{2\cdot 9{,}80} = \frac{144}{19{,}6}=7{,}346938\dots\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma consistente com os dados, \Delta y\approx7{,}35\\ \mathrm{m}.
  • A altura máxima relativa ao solo é então
y_{\max}=y_0+\Delta y=80{,}0+7{,}35=87{,}35\\ \mathrm{m}\approx87{,}3\\ \mathrm{m}.
(Arredondei para três algarismos significativos: 87{,}3\\ \mathrm{m}.)

Passo 6

(d) Tempo até atingir o chão — derivação da equação e cálculo passo a passo.
  • Usamos a equação da posição:
y(t)=y_0+v_0 t-\tfrac{1}{2}g t^2.
Queremos o instante t>0 tal que y(t)=0 (queda até o chão).
  • Montando a equação para y(t)=0:
-\tfrac{1}{2}g t^2 + v_0 t + y_0 = 0.
Multiplicando por -1 ou rearranjando em forma padrão de quadrática positiva:
\tfrac{1}{2}g t^2 - v_0 t - y_0 = 0.
  • Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação A t^2 + B t + C =0 com A=\tfrac{1}{2}g, B=-v_0, C=-y_0, as raízes são
t=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}.
Substituindo A=\tfrac{1}{2}g, B=-v_0, obtemos (fazendo as simplificações):
t=\frac{v_0\pm\sqrt{v_0^2+2 g y_0}}{g}.
Duas soluções aparecem: uma negativa (tempo passado) e outra positiva (tempo futuro que queremos). Tomamos o sinal +.
  • Substituindo os números:
v_0^2+2 g y_0=144 + 2\cdot 9{,}80\cdot 80{,}0 =144 +1568=1712.
\sqrt{1712}=4\sqrt{107}\approx 41{,}3763217\\ \mathrm{m/s}.
t=\frac{12{,}0 + 41{,}3763217}{9{,}80}\approx\frac{53{,}3763217}{9{,}80}\approx5{,}446\\ \mathrm{s}.
Arredondando para três algarismos significativos: t\approx5{,}45\\ \mathrm{s}.
  • Checagem alternativa (didática): podemos dividir em subida e descida: tempo para subir até o ápice t_{\text{subida}}=v_0/g\approx12{,}0/9{,}80\approx1{,}22\\ \mathrm{s}. A partir do ápice (altura 87{,}35\\ \mathrm{m}) o tempo de queda até o chão é t_{\text{descida}}=\sqrt{2 y_{\max}/g}\approx\sqrt{2\cdot87{,}35/9{,}80}\approx4{,}22\\ \mathrm{s}. Soma 1{,}22+4{,}22\approx5{,}44\\ \mathrm{s}, consistente com o resultado anterior (diferenças mínimas por arredondamento).

Resposta

(a) Movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) com aceleração constante para baixo a=-g.
(b) Estar dentro do balão não acrescenta forças após a soltura, mas altera o tempo de queda na medida em que impõe a velocidade inicial v_0=12{,}0\\ \mathrm{m/s}; o tempo depende de y_0 e v_0, não do “histórico” do objeto.
(c) 87{,}3\\ \mathrm{m}.
(d) 5{,}45\\ \mathrm{s}.

Exercícios relacionados