Uma corredora corre em linha reta, com uma velocidade média de módulo igual a
durante
, e então com uma velocidade média de módulo
durante
.
(a) (RA2) Qual é o módulo do deslocamento final desde sua posição inicial?
(b) (RA2) Qual é o módulo de sua velocidade média durante todo esse intervalo de tempo de
?
(c) (RA1) Represente o movimento através de um gráfico
.
(a) (RA2) Qual é o módulo do deslocamento final desde sua posição inicial?
(b) (RA2) Qual é o módulo de sua velocidade média durante todo esse intervalo de tempo de
(c) (RA1) Represente o movimento através de um gráfico
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (peguei os números do enunciado):
- Velocidade média durante o primeiro trecho:
. - Duração do primeiro trecho:
. - Velocidade média durante o segundo trecho:
. - Duração do segundo trecho:
.
- Velocidade média durante o primeiro trecho:
-
Perguntas:
(a) Qual é o módulo do deslocamento final desde a posição inicial?
(b) Qual é o módulo da velocidade média durante todo o intervalo de?
(c) Representar o movimento através de um gráfico(ou seja, dar a função posição em função do tempo e descrever o gráfico).
Observação útil: como a corredora corre em linha reta e o enunciado dá apenas módulos das velocidades sem indicar mudança de sentido, vamos assumir que os dois trechos têm a mesma direção (portanto o deslocamento total é a soma das distâncias percorridas).
Passo 2
Converter os tempos de minutos para segundos (porque as velocidades estão em
e é mais prático trabalhar em segundos).
Explicação curta da fórmula que vou usar para distância percorrida em movimento retilíneo uniforme: quando a velocidade média tem módulo constante em um trecho, a distância percorrida nesse trecho é
onde
é a distância (ou deslocamento se a direção for considerada),
é o módulo da velocidade e
é o intervalo de tempo. Cada símbolo:
em metros,
em
,
em segundos.
Passo 3
Calcular as distâncias percorridas em cada trecho aplicando
.
-
Primeiro trecho:(Detalhe de conta:
.) -
Segundo trecho:(Detalhe de conta:
.)
Como os trechos têm a mesma direção, o deslocamento final (módulo) é a soma das duas distâncias:
Passo 4
Calcular a velocidade média durante todo o intervalo de tempo.
Definição (fórmula): a velocidade média vetorial é a razão entre o deslocamento vetorial total e o intervalo de tempo total:
Aqui o enunciado pede o módulo da velocidade média; como o deslocamento está numa só direção e é positivo, podemos usar a fórmula acima com valores escalares.
O tempo total é
Agora a conta:
Arredondando com três algarismos significativos (os dados iniciais têm três algarismos significativos), obtemos
Comentário motivador: perceba que a velocidade média fica entre
e
e mais próxima de
porque o trecho com
durou mais tempo relativo que o segundo (240 s vs 180 s).
Passo 5
Construir o gráfico
e escrever a função posição em termos de
.
Escolha de referência: tomar a posição inicial como
. Como o movimento é retilíneo e com velocidades médias constantes em cada trecho, o gráfico será formado por dois ramos retos (linhas) com inclinações iguais às velocidades.
-
Para
(primeiro trecho), a posição vale Verificação: em, . -
Para
(segundo trecho), a posição começa em e cresce com velocidade . Assim Verificação: em, , que confere com o deslocamento total calculado.
Descrição do gráfico: no plano
com
no eixo horizontal (em segundos) e
no vertical (em metros),
- de
a a curva é uma reta passando por com inclinação (ou seja, sobe rápido). - de
a a curva é outra reta, contínua no ponto , com inclinação (mais “suave” que a anterior).
O gráfico é, portanto, uma função contínua por partes com duas retas de declives diferentes.
Resposta
(a)
]