Uma corredora corre em linha reta, com uma velocidade média de módulo igual a 5,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s} durante 4,00 \mathrm{~min}, e então com uma velocidade média de módulo 4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s} durante 3,00 \mathrm{~min}.
(a) (RA2) Qual é o módulo do deslocamento final desde sua posição inicial?
(b) (RA2) Qual é o módulo de sua velocidade média durante todo esse intervalo de tempo de 7,00 \mathrm{~min} ?
(c) (RA1) Represente o movimento através de um gráfico x(t).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei os números do enunciado):
    • Velocidade média durante o primeiro trecho: v_1=5,00\\ \mathrm{m/s}.
    • Duração do primeiro trecho: t_1=4,00\\ \mathrm{min}.
    • Velocidade média durante o segundo trecho: v_2=4,00\\ \mathrm{m/s}.
    • Duração do segundo trecho: t_2=3,00\\ \mathrm{min}.
  • Perguntas:
    (a) Qual é o módulo do deslocamento final desde a posição inicial?
    (b) Qual é o módulo da velocidade média durante todo o intervalo de 7,00\\ \mathrm{min}?
    (c) Representar o movimento através de um gráfico x(t) (ou seja, dar a função posição em função do tempo e descrever o gráfico).
Observação útil: como a corredora corre em linha reta e o enunciado dá apenas módulos das velocidades sem indicar mudança de sentido, vamos assumir que os dois trechos têm a mesma direção (portanto o deslocamento total é a soma das distâncias percorridas).

Passo 2

Converter os tempos de minutos para segundos (porque as velocidades estão em \mathrm{m/s} e é mais prático trabalhar em segundos).
  • t_1=4,00\\ \mathrm{min} = 4,00\times 60\\ \mathrm{s}=240\\ \mathrm{s}.
  • t_2=3,00\\ \mathrm{min} = 3,00\times 60\\ \mathrm{s}=180\\ \mathrm{s}.
Explicação curta da fórmula que vou usar para distância percorrida em movimento retilíneo uniforme: quando a velocidade média tem módulo constante em um trecho, a distância percorrida nesse trecho é
\Delta x = v\,\Delta t,
onde \Delta x é a distância (ou deslocamento se a direção for considerada), v é o módulo da velocidade e \Delta t é o intervalo de tempo. Cada símbolo: \Delta x em metros, v em \mathrm{m/s}, \Delta t em segundos.

Passo 3

Calcular as distâncias percorridas em cada trecho aplicando \Delta x = v\,\Delta t.
  • Primeiro trecho:
    \Delta x_1 = v_1\,t_1 = 5,00\\ \mathrm{m/s}\times 240\\ \mathrm{s}=1200\\ \mathrm{m}.
    (Detalhe de conta: 5,00\times 240 = 5\times 240 = 1200.)
  • Segundo trecho:
    \Delta x_2 = v_2\,t_2 = 4,00\\ \mathrm{m/s}\times 180\\ \mathrm{s}=720\\ \mathrm{m}.
    (Detalhe de conta: 4,00\times 180 = 4\times 180 = 720.)
Como os trechos têm a mesma direção, o deslocamento final (módulo) é a soma das duas distâncias:
\Delta x_{\text{total}} = \Delta x_1+\Delta x_2 = 1200\\ \mathrm{m}+720\\ \mathrm{m}=1920\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a velocidade média durante todo o intervalo de tempo.
Definição (fórmula): a velocidade média vetorial é a razão entre o deslocamento vetorial total e o intervalo de tempo total:
\overline{v}=\frac{\Delta x_{\text{total}}}{\Delta t_{\text{total}}}.
Aqui o enunciado pede o módulo da velocidade média; como o deslocamento está numa só direção e é positivo, podemos usar a fórmula acima com valores escalares.
O tempo total é
\Delta t_{\text{total}}=t_1+t_2=240\\ \mathrm{s}+180\\ \mathrm{s}=420\\ \mathrm{s}.
Agora a conta:
\overline{v}=\frac{1920\\ \mathrm{m}}{420\\ \mathrm{s}} \approx 4,571428\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com três algarismos significativos (os dados iniciais têm três algarismos significativos), obtemos
\overline{v}=4,57\\ \mathrm{m/s}.
Comentário motivador: perceba que a velocidade média fica entre v_1 e v_2 e mais próxima de v_1 porque o trecho com v_1 durou mais tempo relativo que o segundo (240 s vs 180 s).

Passo 5

Construir o gráfico x(t) e escrever a função posição em termos de t.
Escolha de referência: tomar a posição inicial como x(0)=0. Como o movimento é retilíneo e com velocidades médias constantes em cada trecho, o gráfico será formado por dois ramos retos (linhas) com inclinações iguais às velocidades.
  • Para 0\le t\le 240\\ \mathrm{s} (primeiro trecho), a posição vale
    x(t)=v_1\,t=5,00\,t\quad(\text{com }t\text{ em s e }x\text{ em m}).
    Verificação: em t=240\\ \mathrm{s}, x(240)=5,00\times 240=1200\\ \mathrm{m}.
  • Para 240\\ \mathrm{s}< t\le 420\\ \mathrm{s} (segundo trecho), a posição começa em x(240)=1200\\ \mathrm{m} e cresce com velocidade v_2. Assim
    x(t)=1200 + v_2\,(t-240)=1200 + 4,00\,(t-240).
    Verificação: em t=420\\ \mathrm{s}, x(420)=1200+4,00\times 180=1200+720=1920\\ \mathrm{m}, que confere com o deslocamento total calculado.
Descrição do gráfico: no plano (t,x) com t no eixo horizontal (em segundos) e x no vertical (em metros),
  • de t=0 a t=240 a curva é uma reta passando por (0,0) com inclinação 5,00 (ou seja, sobe rápido).
  • de t=240 a t=420 a curva é outra reta, contínua no ponto t=240, com inclinação 4,00 (mais “suave” que a anterior).
    O gráfico é, portanto, uma função contínua por partes com duas retas de declives diferentes.

Resposta

(a) 1920\\ \mathrm{m}\) (b) \(4,57\\ \mathrm{m/s}\) \text{(c)} \(x(t)=\begin{cases}5,00\,t, & 0\le t\le 240\\ \mathrm{s},\\[4pt]1200+4,00\,(t-240), & 240< t\le 420\\ \mathrm{s}.\end{cases}]

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