(RA1) Um carro viaja, tranquilamente, 30,0 \mathrm{~km} ao norte e depois 53,0 \mathrm{~km} em uma direção 60,0^{\circ} a oeste do norte. Determine:
a) A representação analítica do vetor deslocamento resultante;
b) O módulo do deslocamento;
c) A orientação do vetor posição.

Passo 1

O enunciado nos dá dois deslocamentos sucessivos feitos por um carro:
  • Primeiro deslocamento: \;30,0\\ \mathrm{km} para o norte.
  • Segundo deslocamento: \;53,0\\ \mathrm{km} numa direção 60,0^\circ a oeste do norte.
O que é pedido:
(a) A representação analítica (em componentes) do vetor deslocamento resultante.
(b) O módulo (comprimento) desse deslocamento resultante.
(c) A orientação do vetor deslocamento resultante (direção), expressa de forma clara (por exemplo: ângulo a oeste do norte).

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e convenções (super importante para não se perder na prova).
  • Vou tomar o eixo +y apontando para o norte e o eixo +x apontando para o leste. Assim:
    • “oeste” corresponde a x negativo,
    • “norte” corresponde a y positivo.
  • Vou usar vetores escritos na base \{\hat{\imath},\hat{\jmath}\}, onde \hat{\imath} é o versor em x (leste) e \hat{\jmath} é o versor em y (norte).
Explicação sobre decomposição de vetores (mini-aula rápida):
  • Um vetor no plano pode ser escrito em componentes como \vec{v}=v_x\hat{\imath}+v_y\hat{\jmath}.
  • Se um vetor tem magnitude V e forma um ângulo \alpha com o eixo vertical +y (norte), as componentes são: v_x = V\sin\alpha,\qquad v_y = V\cos\alpha,com o sinal de v_x negativo se o vetor aponta para o oeste. (Isso vem das definições usuais de seno e cosseno num triângulo retângulo; aqui o ângulo é medido a partir do eixo y.)

Passo 3

Decomposição dos dois deslocamentos em componentes (usar as fórmulas acima).
  1. Primeiro deslocamento \vec{d}_1: \;30,0\\ \mathrm{km} para o norte. Como não tem componente em x,
\vec{d}_1 = 0\cdot\hat{\imath} + 30,0\\ \hat{\jmath}.
  1. Segundo deslocamento \vec{d}_2: \;53,0\\ \mathrm{km} a 60,0^\circ a oeste do norte.
  • O ângulo \alpha = 60,0^\circ está medido a partir do norte em direção ao oeste.
  • Com as fórmulas: d_{2x} = -\,53,0\sin 60,0^\circ,\qquad d_{2y} = 53,0\cos 60,0^\circ.(o sinal negativo em d_{2x} porque é para o oeste).
  • Usando \sin 60,0^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos 60,0^\circ=\dfrac{1}{2}: d_{2x} = -\,53,0\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad d_{2y} = 53,0\cdot\dfrac{1}{2}=26,5.
  • Assim: \vec{d}_2 = -\,\dfrac{53,0\sqrt{3}}{2}\,\hat{\imath} + 26,5\,\hat{\jmath}.

Passo 4

Soma vetorial para obter o deslocamento resultante \vec{R}=\vec{d}_1+\vec{d}_2.
  • Componentes em x e y: R_x = 0 + \left(-\,\dfrac{53,0\sqrt{3}}{2}\right) = -\,\dfrac{53,0\sqrt{3}}{2},
R_y = 30,0 + 26,5 = 56,5.
  • Podemos deixar R_x em forma exata e também calcular valor numérico aproximado para usar a seguir: R_x = -\,\dfrac{53,0\sqrt{3}}{2}\approx -45,9\\ \mathrm{km}.(cálculo: \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,8660254, então 53,0\cdot0,8660254\approx45,899 arredondando para três algarismos significativos fica -45,9\\ \mathrm{km}.)
  • Assim o vetor resultante analítico é \vec{R}= -\,\dfrac{53,0\sqrt{3}}{2}\,\hat{\imath} + 56,5\,\hat{\jmath}ou numericamente \vec{R}\approx -45,9\,\hat{\imath} + 56,5\,\hat{\jmath}\quad(\mathrm{km}).

Passo 5

Cálculo do módulo do vetor resultante (mini-aula: teorema de Pitágoras para vetores).
  • O módulo de \vec{R} é dado por |\vec{R}|=\sqrt{R_x^2+R_y^2}.
  • Substituindo as expressões exatas: \;R_x^2=\left(\dfrac{53,0\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{53,0^2\cdot3}{4}=\dfrac{2809\cdot3}{4}=\dfrac{8427}{4}=2106,75.
    E R_y^2=(56,5)^2=3192,25.
  • Somando: R_x^2+R_y^2=2106,75+3192,25=5299,00.
  • Logo |\vec{R}|=\sqrt{5299,00} \approx 72,8\\ \mathrm{km}.(Arredondei para três algarismos significativos, compatível com os dados iniciais.)

Passo 6

Cálculo da orientação do vetor resultante (mini-aula sobre ângulo e quadrantes).
  • O vetor tem R_x<0 e R_y>0, isto é, está no quadrante nordeste ou noroeste? Como R_x é negativo, é no quadrante noroeste (NW): componente oeste e norte.
  • Para obter o ângulo \theta medido a partir do norte em direção ao oeste (para ficar no mesmo sistema de referência do enunciado), usamos \theta = \arctan\!\left(\frac{|R_x|}{R_y}\right).Isso dá o ângulo entre o vetor e o eixo +y (norte).
  • Substituindo valores numéricos: \theta = \arctan\!\left(\dfrac{45,899\ldots}{56,5}\right)\approx 39,1^\circ.
  • Interpretação: o deslocamento resultante aponta \,39,1^\circ a oeste do norte. (Também poderia ser escrito como rumo N 39,1^\circ W.)

Resposta

(a) \displaystyle \vec{R}= -\,\dfrac{53,0\sqrt{3}}{2}\,\hat{\imath} + 56,5\,\hat{\jmath}\approx -45,9\,\hat{\imath}+56,5\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{(km)}\n
(b) \displaystyle |\vec{R}|=\sqrt{5299}\approx72,8\\ \mathrm{km}\n
(c) \displaystyle \theta\approx39,1^\circ\\ \text{a oeste do norte (N }39,1^\circ\text{ W)}

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