(RA1) Um carro viaja, tranquilamente,
ao norte e depois
em uma direção
a oeste do norte. Determine:
a) A representação analítica do vetor deslocamento resultante;
b) O módulo do deslocamento;
c) A orientação do vetor posição.
a) A representação analítica do vetor deslocamento resultante;
b) O módulo do deslocamento;
c) A orientação do vetor posição.
Passo 1
O enunciado nos dá dois deslocamentos sucessivos feitos por um carro:
- Primeiro deslocamento:
para o norte. - Segundo deslocamento:
numa direção a oeste do norte.
O que é pedido:
(a) A representação analítica (em componentes) do vetor deslocamento resultante.
(b) O módulo (comprimento) desse deslocamento resultante.
(c) A orientação do vetor deslocamento resultante (direção), expressa de forma clara (por exemplo: ângulo a oeste do norte).
(a) A representação analítica (em componentes) do vetor deslocamento resultante.
(b) O módulo (comprimento) desse deslocamento resultante.
(c) A orientação do vetor deslocamento resultante (direção), expressa de forma clara (por exemplo: ângulo a oeste do norte).
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas e convenções (super importante para não se perder na prova).
- Vou tomar o eixo
apontando para o norte e o eixo apontando para o leste. Assim: - “oeste” corresponde a
negativo, - “norte” corresponde a
positivo.
- “oeste” corresponde a
- Vou usar vetores escritos na base
, onde é o versor em (leste) e é o versor em (norte).
Explicação sobre decomposição de vetores (mini-aula rápida):
- Um vetor no plano pode ser escrito em componentes como
. - Se um vetor tem magnitude
e forma um ângulo com o eixo vertical (norte), as componentes são: com o sinal de negativo se o vetor aponta para o oeste. (Isso vem das definições usuais de seno e cosseno num triângulo retângulo; aqui o ângulo é medido a partir do eixo .)
Passo 3
Decomposição dos dois deslocamentos em componentes (usar as fórmulas acima).
- Primeiro deslocamento
: para o norte. Como não tem componente em ,
- Segundo deslocamento
: a a oeste do norte.
- O ângulo
está medido a partir do norte em direção ao oeste. - Com as fórmulas:
(o sinal negativo em porque é para o oeste). - Usando
e : - Assim:
Passo 4
Soma vetorial para obter o deslocamento resultante
.
- Componentes em
e :
- Podemos deixar
em forma exata e também calcular valor numérico aproximado para usar a seguir: (cálculo: , então arredondando para três algarismos significativos fica .) - Assim o vetor resultante analítico é
ou numericamente
Passo 5
Cálculo do módulo do vetor resultante (mini-aula: teorema de Pitágoras para vetores).
- O módulo de
é dado por - Substituindo as expressões exatas:
.
E. - Somando:
- Logo
(Arredondei para três algarismos significativos, compatível com os dados iniciais.)
Passo 6
Cálculo da orientação do vetor resultante (mini-aula sobre ângulo e quadrantes).
- O vetor tem
e , isto é, está no quadrante nordeste ou noroeste? Como é negativo, é no quadrante noroeste (NW): componente oeste e norte. - Para obter o ângulo
medido a partir do norte em direção ao oeste (para ficar no mesmo sistema de referência do enunciado), usamos Isso dá o ângulo entre o vetor e o eixo (norte). - Substituindo valores numéricos:
- Interpretação: o deslocamento resultante aponta
a oeste do norte. (Também poderia ser escrito como rumo N W.)
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)