Um balão sobe sobre uma velocidade constante de 2 m / s e um rapaz anda de bicicleta ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de 5 m / s. Ao passar sobre o ciclista o balão está a 15 m acima dele. Com que velocidade cresce a distância entre o balão e o rapaz 3 segundos mais tarde?

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação da distância entre um balão e um rapaz 3 s depois que o balão passa sobre o ciclista, sabendo que o balão sobe a 2 m/s e o ciclista se afasta a 5 m/s. O conteúdo é taxa de variação relacionada, usando Pitágoras para relacionar distância vertical, horizontal e a “hipotenusa” que é a separação.

Passo 2

Vamos chamar de y(t) a altura do balão acima do ponto de partida do ciclista e de x(t) a distância horizontal percorrida pelo ciclista, ambas em função do tempo t em segundos. Como o balão já estava a 15 m de altura no instante inicial e sobe a 2 m/s, temos
y(t)=15+2t
Como o ciclista parte de baixo do balão (na vertical) e anda a 5 m/s,
x(t)=5t

Passo 3

A distância r(t) entre balão e ciclista é a hipotenusa do triângulo de catetos x(t) e y(t):
r(t)=raizx(t)^2+y(t)^2
Para achar a taxa drdt, diferenciamos em relação a t (derivada implícita):
drdt=x(t),x'(t)+y(t),y'(t)r(t)

Passo 4

Agora avaliamos tudo em t=3 s. Temos:
x(3)=5cdot3=15, y(3)=15+2cdot3=21, x'(t)=5, y'(t)=2
E
r(3)=raiz15^2+21^2=raiz225+441=raiz666

Passo 5

Substituindo na fórmula de dr/dt:
drdt|t=3=15cdot5 + 21cdot2raiz666=75+42raiz666=117raiz666
Opcionalmente, aproximando dá cerca de 4,54 m/s.

Resposta

117raiz666approx4,54 m/s

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