Um balão sobe sobre uma velocidade constante de
e um rapaz anda de bicicleta ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de
. Ao passar sobre o ciclista o balão está a 15 m acima dele. Com que velocidade cresce a distância entre o balão e o rapaz 3 segundos mais tarde?
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação da distância entre um balão e um rapaz 3 s depois que o balão passa sobre o ciclista, sabendo que o balão sobe a 2 m/s e o ciclista se afasta a 5 m/s. O conteúdo é taxa de variação relacionada, usando Pitágoras para relacionar distância vertical, horizontal e a “hipotenusa” que é a separação.
Passo 2
Vamos chamar de
a altura do balão acima do ponto de partida do ciclista e de
a distância horizontal percorrida pelo ciclista, ambas em função do tempo
em segundos. Como o balão já estava a 15 m de altura no instante inicial e sobe a 2 m/s, temos
Como o ciclista parte de baixo do balão (na vertical) e anda a 5 m/s,
Passo 3
A distância
entre balão e ciclista é a hipotenusa do triângulo de catetos
e
:
Para achar a taxa
, diferenciamos em relação a
(derivada implícita):
Passo 4
Agora avaliamos tudo em
s. Temos:
E
Passo 5
Substituindo na fórmula de
:
Opcionalmente, aproximando dá cerca de 4,54 m/s.