Um carro B se encontra 30 km a leste de um carro A . Ao mesmo tempo, o carro A começa a se mover para o norte com uma velocidade de 60 km / h e o carro B para oeste com uma velocidade de 40 km / h. Encontre a distância mínima entre os carros.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois carros num plano: o carro A parte do ponto (0,0) em direção norte a 60 km/h, e o carro B começa em (30,0) indo para oeste a 40 km/h. O assunto é modelar a distância em função do tempo e encontrar seu mínimo usando derivadas.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas cartesianas. A posição do carro A em função do tempo t (em horas) é A(t) = (0, 60t). A posição de B é B(t) = (30 − 40t, 0). A distância entre eles é dado por D(t) = dist(A(t),B(t)).
Para evitar raízes diretas, trabalhamos com o quadrado da distância:
D^2(t) = (xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 = (30 - 40t)^2 + (60t)^2

Passo 3

Expandindo e simplificando:
D^2(t) = 900 - 2400 t + 1600 t^2 + 3600 t^2 = 900 - 2400 t + 5200 t^2

Passo 4

Para achar o mínimo, derivamos D^2 em relação a t e igualamos a zero:
ddtD^2(t) = -2400 + 10400 t = 0 implies t = 240010400 = 313 h
Esse é o instante em que a distância é mínima. Agora, avaliaremos D^2 em t = 3/13 h:
D^2min = 900 - 2400cdot313 + 5200cdotl(313r)^2 = 105300169 approx 623.08

Passo 5

Logo, a distância mínima é
Dmin = raiz105300169 = raiz10530013 approx 24.95 km

Resposta

A distância mínima entre os carros é aproximadamente 24,95 km.

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