Um carro B se encontra 30 km a leste de um carro A . Ao mesmo tempo, o carro
começa a se mover para o norte com uma velocidade de
e o carro B para oeste com uma velocidade de
. Encontre a distância mínima entre os carros.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois carros num plano: o carro A parte do ponto (0,0) em direção norte a 60 km/h, e o carro B começa em (30,0) indo para oeste a 40 km/h. O assunto é modelar a distância em função do tempo e encontrar seu mínimo usando derivadas.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas cartesianas. A posição do carro A em função do tempo t (em horas) é A(t) = (0, 60t). A posição de B é B(t) = (30 − 40t, 0). A distância entre eles é dado por D(t) = dist(A(t),B(t)).
Para evitar raízes diretas, trabalhamos com o quadrado da distância:
Para evitar raízes diretas, trabalhamos com o quadrado da distância:
Passo 3
Expandindo e simplificando:
Passo 4
Para achar o mínimo, derivamos D^2 em relação a t e igualamos a zero:
Esse é o instante em que a distância é mínima. Agora, avaliaremos D^2 em t = 3/13 h:
Passo 5
Logo, a distância mínima é
Resposta
A distância mínima entre os carros é aproximadamente 24,95 km.