Use o teste da derivada segunda para encontrar os mínimos e máximos relativos das seguintes funções:
f(x)=ln (x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da derivada segunda para encontrar máximos e mínimos relativos da função f(x)=ln(x^2+1). O conteúdo envolve derivadas primeira e segunda e o critério de sinal da segunda derivada para classificar pontos críticos.

Passo 2

Para calcular a derivada primeira usamos que se f(x)=ln(u) então f'(x)=u'/u. Aqui u=x^2+1, logo
f'(x)=2xx^2+1

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos f'(x)=0:
2xx^2+1=0Longrightarrow x=0

Passo 4

Agora calculamos a derivada segunda aplicando a regra do quociente em f'(x)=2x/(x^2+1):
f''(x)=2(x^2+1)-2xcdot 2x(x^2+1)^2=2-2x^2(x^2+1)^2=2(1-x^2)(x^2+1)^2

Passo 5

Analisamos o sinal de f'' no ponto crítico x=0:
f''(0)=2(1-0^2)(0^2+1)^2=2>0

Passo 6

Como f''(0)>0, pelo teste da derivada segunda temos um mínimo relativo em x=0. Não existem outros pontos críticos, então não há máximos relativos.

Resposta

A função tem um mínimo relativo em x=0, com valor f(0)=0, e não possui máximos relativos.

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