Use o teste da derivada segunda para encontrar os mínimos e máximos relativos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para, usando o teste da derivada segunda, encontrar os extremos relativos da função
. Este é um tema de cálculo diferencial: vamos precisar calcular
, localizar pontos críticos e usar
para classificar cada ponto.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada primeira usando a regra do produto:
implica
Passo 3
Até aqui, o ponto crítico vem de
:
Passo 4
Agora, a derivada segunda para aplicar o teste:
Passo 5
No ponto crítico
, temos
. Pelo teste da derivada segunda, se
então
é ponto de mínimo relativo.
Concluímos que é um mínimo relativo. Como não há nenhum outro ponto crítico e
para todo
, não existem máximos relativos.
Concluímos que
Resposta
A função tem um mínimo relativo em x=1/e, com valor f(1/e)= -1/e. Não há máximos relativos.