Use o teste da derivada segunda para encontrar os mínimos e máximos relativos das seguintes funções:
f(x)=x cdot ln x

Passo 1

O enunciado pede para, usando o teste da derivada segunda, encontrar os extremos relativos da função f(x)=xln x. Este é um tema de cálculo diferencial: vamos precisar calcular f'(x), localizar pontos críticos e usar f''(x) para classificar cada ponto.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada primeira usando a regra do produto: f(x)=xln x implica
f'(x)=ddx[x]cdotln x + xcdotddx[ln x]=1cdotln x + xcdot1x=ln x +1

Passo 3

Até aqui, o ponto crítico vem de f'(x)=0:
ln x +1=0Longrightarrowln x=-1Longrightarrow x=e^-1=1e

Passo 4

Agora, a derivada segunda para aplicar o teste:
f''(x)=ddx[ln x +1]=1x

Passo 5

No ponto crítico x=1/e, temos f''(1/e)=e>0. Pelo teste da derivada segunda, se f''(c)>0 então c é ponto de mínimo relativo.
Concluímos que x=1/e é um mínimo relativo. Como não há nenhum outro ponto crítico e f''(x)>0 para todo x>0, não existem máximos relativos.

Resposta

A função tem um mínimo relativo em x=1/e, com valor f(1/e)= -1/e. Não há máximos relativos.

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