Um balão sobe com velocidade de
e está a 100 m acima do solo quando dele se deixa cair um saco de areia. Determine: (a) o espaço total percorrido pelo saco de areia, (b) o intervalo de tempo em que o saco de areia permanece no ar, ao percorrer a trajetória mencionada no item anterior.
Passo 1
O enunciado diz que um balão sobe com velocidade
e, no instante em que o saco de areia é largado, o saco está a
acima do solo. Preciso determinar duas coisas:
- (a) o espaço total percorrido pelo saco de areia desde o instante da queda até atingir o solo;
- (b) o intervalo de tempo total que o saco permanece no ar até atingir o solo.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
Assumirei a aceleração da gravidade como
para baixo (portanto a aceleração é
). A resolução começa agora.
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicas de cinematica retilínea uniforme acelerada que vamos usar (explicadinho):
- posição em função do tempo (eixo vertical positivo para cima):
onde
é a altura no instante
,
é a altura inicial,
é a velocidade inicial (positiva para cima), e
é a aceleração (aqui
).
- velocidade em função do tempo:
- para achar a altura máxima atingida a partir de uma velocidade inicial para cima usamos que no ponto máximo
. O tempo até o máximo é (quando isso dá um tempo positivo). A subida adicional em altura pode ser calculada por (fórmula da energia cinética transformada em altura, mas derivável do movimento). - para achar o tempo até o solo resolvemos
(tomando como o solo) e pegamos a raiz positiva da equação quadrática resultante.
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular o tempo que o saco leva para subir até parar momentaneamente (tempo até o vértice da trajetória).
Usamos
e queremos
. Assim
Substituindo os valores:
Passo 4
Calcular o ganho de altura durante essa subida (distância que o saco sobe acima de
).
Usamos a fórmula direta
Usamos a fórmula direta
Substituindo:
Portanto a altura máxima em relação ao solo é
Passo 5
Interpretando o que foi pedido em (a): o espaço total percorrido pelo saco desde a liberação até o impacto é a soma da distância que ele sobe (de
até
) mais a distância que ele desce (de
até o solo). Logo
Mas
, então
Substituindo valores:
Arredondando sensivelmente (dados com 3 algarismos significativos):
Passo 6
Agora vamos calcular o tempo total no ar (item (b)). Duas formas equivalentes: (i) resolver a equação da posição até
como uma quadrática em
; ou (ii) somar o tempo de subida
com o tempo de queda a partir do repouso do vértice até o solo. Vou fazer os dois para checar coerência (mas você pode usar só um deles na prova).
Método (i) — resolver
. A equação é
Colocando números:
ou multiplicando por
,
Aplicamos a fórmula de Bhaskara:
A raiz positiva (tempo físico após a queda) é com o sinal
:
Calculando numericamente
, temos
Passo 7
Método (ii) — verificação somando tempos: já tínhamos
. O tempo de queda desde o repouso no vértice até o solo satisfaz
Substituindo
:
Somando
o que coincide (dentro de arredondamentos) com o resultado do método (i)
. Portanto o tempo total no ar é aproximadamente
.
Resposta
(a)
(b)
(b)