Um carro se desloca com aceleração constante em módulo, direção e sentido. O carro percorre em
a distância de 50 metros que separa dois pontos. Sua velocidade quando ele passa pelo primeiro ponto vale
. (a) Calcule o módulo da aceleração do carro. (b) Calcule o módulo da velocidade com que ele passa pelo segundo ponto. (c) A que distância antes do primeiro ponto o carro partiu do repouso? (d) Calcule o tempo gasto pelo carro desde o repouso até o momento em que sua velocidade atinge o valor de
.
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que ele pede, para não nos perdermos depois.
Dados fornecidos (vou escrever cada número em formato matemático):
é o tempo que o carro leva para ir do primeiro ao segundo ponto.
A distância entre esses pontos é .
A velocidade do carro ao passar pelo primeiro ponto é .
Além disso, o enunciado diz que a aceleração tem módulo, direção e sentido constantes — ou seja, a aceleração escalar é constante ao longo do movimento.
A distância entre esses pontos é
A velocidade do carro ao passar pelo primeiro ponto é
Além disso, o enunciado diz que a aceleração tem módulo, direção e sentido constantes — ou seja, a aceleração escalar
O que o exercício pede:
(a) Calcular o módulo da aceleração .
(b) Calcular o módulo da velocidade ao passar pelo segundo ponto .
(c) Determinar a que distância antes do primeiro ponto o carro partiu do repouso (ou seja, a distância desde a posição inicial com até o primeiro ponto).
(d) Calcular o tempo gasto desde o repouso até o instante em que a velocidade atinge .
(a) Calcular o módulo da aceleração
(b) Calcular o módulo da velocidade ao passar pelo segundo ponto
(c) Determinar a que distância antes do primeiro ponto o carro partiu do repouso (ou seja, a distância desde a posição inicial com
(d) Calcular o tempo gasto desde o repouso até o instante em que a velocidade atinge
Observação importante: aqui todas as velocidades e deslocamentos são ao longo da mesma reta e no mesmo sentido da aceleração, então podemos tratar tudo com sinais positivos (aceleração positiva que aumenta a velocidade).
Passo 2
Breve revisão das fórmulas que usaremos (explicando cada símbolo). Para movimento retilíneo com aceleração constante
valem as seguintes relações fundamentais:
- Lei da velocidade:
Aqui
é a velocidade no instante
,
é a velocidade no instante inicial escolhido e
é a aceleração constante.
- Equação do deslocamento:
Aqui
é o deslocamento no intervalo de tempo
a partir da posição onde a velocidade era
.
- Relação independente do tempo (muito útil):
Esta expressão relaciona velocidades e deslocamento sem precisar do tempo.
Explicando em palavras: a primeira vem da definição de aceleração (
) integrada no tempo; a segunda vem integrando a velocidade (que é linear no tempo) para obter a posição; a terceira é obtida combinando as duas primeiras para eliminar o tempo.
Vou usar essas fórmulas colocando sempre, quando usá-las, quais são
,
,
e
naquele trecho do movimento.
Passo 3
Resolver (a): encontrar
usando os dados entre o primeiro e o segundo ponto.
Entre o primeiro e o segundo ponto temos
,
e
. Usamos a equação do deslocamento:
Isolando
,
Agora substituímos os números (cada número em TeX):
Portanto o módulo da aceleração é
.
Passo 4
Pequena checagem de consistência (sempre bom fazer na prova): como
e
, a velocidade deve aumentar ao longo dos
. Faz sentido físico — o carro acelera e percorre
nesse intervalo.
Passo 5
Resolver (b): velocidade ao passar pelo segundo ponto
.
Usamos a lei da velocidade:
Substituindo:
Portanto
.
Passo 6
Resolver (c): distância antes do primeiro ponto em que o carro partiu do repouso.
Agora consideramos o trecho desde a partida (velocidade inicial
) até o momento em que o carro passa pelo primeiro ponto com velocidade
. Usamos a relação independente do tempo:
onde
é a distância percorrida desde o repouso até o primeiro ponto. Isolando
,
Substituindo os valores:
Arredondando razoavelmente (dados dados com uma casa decimal), podemos escrever
.
Portanto o carro partiu do repouso a
antes do primeiro ponto.
Passo 7
Resolver (d): tempo desde o repouso até a velocidade
.
Partindo do repouso (
) e com aceleração
, usamos a lei da velocidade:
Aqui
e
, então
Arredondando para duas casas decimais,
.
Você pode também checar usando a relação do deslocamento se quisesse saber a distância até
, mas a questão pediu só o tempo.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)