Um carro se desloca com aceleração constante em módulo, direção e sentido. O carro percorre em 5,0 \mathrm{~s} a distância de 50 metros que separa dois pontos. Sua velocidade quando ele passa pelo primeiro ponto vale 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Calcule o módulo da aceleração do carro. (b) Calcule o módulo da velocidade com que ele passa pelo segundo ponto. (c) A que distância antes do primeiro ponto o carro partiu do repouso? (d) Calcule o tempo gasto pelo carro desde o repouso até o momento em que sua velocidade atinge o valor de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que ele pede, para não nos perdermos depois.
Dados fornecidos (vou escrever cada número em formato matemático):
\Delta t = 5{,}0\\ \mathrm{s} é o tempo que o carro leva para ir do primeiro ao segundo ponto.
A distância entre esses pontos é \Delta x = 50\\ \mathrm{m}.
A velocidade do carro ao passar pelo primeiro ponto é v_1 = 4{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Além disso, o enunciado diz que a aceleração tem módulo, direção e sentido constantes — ou seja, a aceleração escalar a é constante ao longo do movimento.
O que o exercício pede:
(a) Calcular o módulo da aceleração a.
(b) Calcular o módulo da velocidade ao passar pelo segundo ponto v_2.
(c) Determinar a que distância antes do primeiro ponto o carro partiu do repouso (ou seja, a distância desde a posição inicial com v=0 até o primeiro ponto).
(d) Calcular o tempo gasto desde o repouso até o instante em que a velocidade atinge 10\\ \mathrm{m/s}.
Observação importante: aqui todas as velocidades e deslocamentos são ao longo da mesma reta e no mesmo sentido da aceleração, então podemos tratar tudo com sinais positivos (aceleração positiva que aumenta a velocidade).

Passo 2

Breve revisão das fórmulas que usaremos (explicando cada símbolo). Para movimento retilíneo com aceleração constante a valem as seguintes relações fundamentais:
  • Lei da velocidade:
v(t)=v_0 + a\,t
Aqui v(t) é a velocidade no instante t, v_0 é a velocidade no instante inicial escolhido e a é a aceleração constante.
  • Equação do deslocamento:
\Delta x = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
Aqui \Delta x é o deslocamento no intervalo de tempo t a partir da posição onde a velocidade era v_0.
  • Relação independente do tempo (muito útil):
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x
Esta expressão relaciona velocidades e deslocamento sem precisar do tempo.
Explicando em palavras: a primeira vem da definição de aceleração ( a = \frac{dv}{dt}) integrada no tempo; a segunda vem integrando a velocidade (que é linear no tempo) para obter a posição; a terceira é obtida combinando as duas primeiras para eliminar o tempo.
Vou usar essas fórmulas colocando sempre, quando usá-las, quais são v_0, v, t e \Delta x naquele trecho do movimento.

Passo 3

Resolver (a): encontrar a usando os dados entre o primeiro e o segundo ponto.
Entre o primeiro e o segundo ponto temos v_0 = v_1 = 4{,}0\\ \mathrm{m/s}, t = \Delta t = 5{,}0\\ \mathrm{s} e \Delta x = 50\\ \mathrm{m}. Usamos a equação do deslocamento:
\Delta x = v_1 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
Isolando a,
a = \frac{2(\Delta x - v_1 t)}{t^2}.
Agora substituímos os números (cada número em TeX):
v_1 t = 4{,}0 \times 5{,}0 = 20\\ \mathrm{m}.
\Delta x - v_1 t = 50 - 20 = 30\\ \mathrm{m}.
a = \frac{2 \times 30}{(5{,}0)^2} = \frac{60}{25} = 2{,}4\\ \mathrm{m/s^2}.
Portanto o módulo da aceleração é a = 2{,}4\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Pequena checagem de consistência (sempre bom fazer na prova): como a>0 e v_1>0, a velocidade deve aumentar ao longo dos 5{,}0\\ \mathrm{s}. Faz sentido físico — o carro acelera e percorre 50\\ \mathrm{m} nesse intervalo.

Passo 5

Resolver (b): velocidade ao passar pelo segundo ponto v_2.
Usamos a lei da velocidade:
v_2 = v_1 + a \Delta t.
Substituindo:
v_2 = 4{,}0 + 2{,}4 \times 5{,}0 = 4{,}0 + 12 = 16\\ \mathrm{m/s}.
Portanto v_2 = 16\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Resolver (c): distância antes do primeiro ponto em que o carro partiu do repouso.
Agora consideramos o trecho desde a partida (velocidade inicial v_0=0) até o momento em que o carro passa pelo primeiro ponto com velocidade v_1=4{,}0\\ \mathrm{m/s}. Usamos a relação independente do tempo:
v_1^2 = 0^2 + 2 a s,
onde s é a distância percorrida desde o repouso até o primeiro ponto. Isolando s,
s = \frac{v_1^2}{2a}.
Substituindo os valores:
v_1^2 = (4{,}0)^2 = 16\\ (\mathrm{m^2/s^2}),
2a = 2 \times 2{,}4 = 4{,}8\\ \mathrm{m/s^2},
s = \frac{16}{4{,}8} = 3{,}333\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente (dados dados com uma casa decimal), podemos escrever s = 3{,}33\\ \mathrm{m}.
Portanto o carro partiu do repouso a 3{,}33\\ \mathrm{m} antes do primeiro ponto.

Passo 7

Resolver (d): tempo desde o repouso até a velocidade 10\\ \mathrm{m/s}.
Partindo do repouso ( v_0=0) e com aceleração a=2{,}4\\ \mathrm{m/s^2}, usamos a lei da velocidade:
v = v_0 + a t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{v - v_0}{a}.
Aqui v = 10\\ \mathrm{m/s} e v_0=0, então
t = \frac{10}{2{,}4} = 4{,}1666\ldots\\ \mathrm{s}.
Arredondando para duas casas decimais, t = 4{,}17\\ \mathrm{s}.
Você pode também checar usando a relação do deslocamento se quisesse saber a distância até 10\\ \mathrm{m/s}, mas a questão pediu só o tempo.

Resposta

(a) a = 2{,}4\\ \mathrm{m/s^2}
(b) v_2 = 16\\ \mathrm{m/s}
(c) 3{,}33\\ \mathrm{m}
(d) 4{,}17\\ \mathrm{s}

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