Uma bola de chumbo é largada de um trampolim a
acima de uma piscina. Ela atinge a superfície da água com uma certa velocidade, penetra na água com esta mesma velocidade a qual permanece constante até atingir o fundo da piscina. A bola atinge o fundo da piscina
após o instante em que ela é largada. (a) Com que velocidade a bola atinge a superfície da piscina? (b) Qual o intervalo de tempo desde o momento em que a bola é largada até o momento em que ela atinge a superfície da água? (c) Qual é a profundidade da piscina? (d) Qual é o módulo da
velocidade média da bola? (e) Suponha que a piscina seja esvaziada. A bola é lançada com velocidade inicial de modo que ela atinja o fundo da piscina novamente em
. Qual é a velocidade inicial da bola?
velocidade média da bola? (e) Suponha que a piscina seja esvaziada. A bola é lançada com velocidade inicial de modo que ela atinja o fundo da piscina novamente em
Passo 1
O enunciado (resumido) e o que se pede:
-
Dados fornecidos:
- A bola é largada do trampolim com velocidade inicial nula.
- A altura entre o trampolim e a superfície da água é
. - A bola atinge a superfície da água com certa velocidade e, ao penetrar, sua velocidade permanece constante enquanto ela desce até o fundo.
- O tempo total desde a liberação até atingir o fundo da piscina é
. - Usarei a aceleração da gravidade como
.
-
Perguntas:
(a) Com que velocidade a bola atinge a superfície da piscina?
(b) Qual o intervalo de tempo desde o momento em que a bola é largada até o momento em que ela atinge a superfície da água?
(c) Qual é a profundidade da piscina?
(d) Qual é o módulo da velocidade média da bola?
(e) Supondo a piscina esvaziada, se a bola for lançada (com algum) de modo que atinja o fundo em , qual deve ser essa velocidade inicial (indicar direção)?
Passo 2
Relembrando as fórmulas básicas de cinemática (movimento unidimensional com aceleração constante):
- Equação da posição (tomando para baixo sentido positivo):
onde
é a posição final,
a posição inicial,
a velocidade inicial,
a aceleração (aqui
), e
o tempo.
- Equação da velocidade:
- Energia ou combinação das equações também dá a relação de velocidade ao cair de uma altura
:
Aqui, como a bola é largada com
e
, essa última relação é muito prática para achar a velocidade ao atingir a superfície: ela reduz a conta porque elimina o tempo.
Vou aplicar essas fórmulas ao problema.
Passo 3
(a) Velocidade ao atingir a superfície da água.
Usamos a relação de conservação cinemática para queda livre a partir do repouso:
Como
e
,
Logo
Portanto a velocidade com que a bola atinge a superfície da água é
(para baixo).
Passo 4
(b) Intervalo de tempo até atingir a superfície da água.
Usamos a equação da posição com
:
Resolva para
:
Portanto o tempo de queda no ar até a superfície da água é
.
Passo 5
(c) Profundidade da piscina.
O tempo total até o fundo é
. Como o tempo no ar é
, o tempo que a bola passa submersa (movimento com velocidade constante igual à velocidade de impacto) é
Como a velocidade dentro d’água é constante e igual a
, a profundidade
é
(Usei a velocidade mais precisa
e o tempo
nos cálculos intermediários; o resultado arredondado é
.)
Passo 6
(d) Módulo da velocidade média da bola.
A velocidade média vetorial é o deslocamento total dividido pelo tempo total. Como o movimento é unidimensional e sempre para baixo, o módulo da velocidade média é simplesmente
Substituindo
,
Portanto o módulo da velocidade média é
(para baixo).
Passo 7
(e) Piscina esvaziada: encontrar a velocidade inicial necessária para que a bola atinja o fundo em
.
Agora a bola percorre toda a distância entre o trampolim e o fundo no ar. Essa distância é
Queremos uma velocidade inicial
(pode ser para baixo ou para cima) tal que, sob aceleração
, a bola atinja
em
. Usamos a equação da posição:
Rearranjando para
:
Substituindo
,
,
:
O sinal negativo (já que tomamos o sentido para baixo como positivo) indica que a velocidade inicial deve ser para cima. Portanto a bola deve ser lançada para cima com velocidade de módulo
para que ela atinja o fundo exatamente em
.
Resposta
(a)
(para baixo)
(b)
(c)
(d) (módulo, direção para baixo)
(e) velocidade inicial para cima
(b)
(c)
(d)
(e) velocidade inicial