Uma bola de chumbo é largada de um trampolim a 5,5 \mathrm{~m} acima de uma piscina. Ela atinge a superfície da água com uma certa velocidade, penetra na água com esta mesma velocidade a qual permanece constante até atingir o fundo da piscina. A bola atinge o fundo da piscina 2,0 \mathrm{~s} após o instante em que ela é largada. (a) Com que velocidade a bola atinge a superfície da piscina? (b) Qual o intervalo de tempo desde o momento em que a bola é largada até o momento em que ela atinge a superfície da água? (c) Qual é a profundidade da piscina? (d) Qual é o módulo da
velocidade média da bola? (e) Suponha que a piscina seja esvaziada. A bola é lançada com velocidade inicial de modo que ela atinja o fundo da piscina novamente em 2,0 \mathrm{~s}. Qual é a velocidade inicial da bola?

Passo 1

O enunciado (resumido) e o que se pede:
  • Dados fornecidos:
    • A bola é largada do trampolim com velocidade inicial nula.
    • A altura entre o trampolim e a superfície da água é 5,5\\ \mathrm{m}.
    • A bola atinge a superfície da água com certa velocidade e, ao penetrar, sua velocidade permanece constante enquanto ela desce até o fundo.
    • O tempo total desde a liberação até atingir o fundo da piscina é 2,0\\ \mathrm{s}.
    • Usarei a aceleração da gravidade como g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Perguntas:
    (a) Com que velocidade a bola atinge a superfície da piscina?
    (b) Qual o intervalo de tempo desde o momento em que a bola é largada até o momento em que ela atinge a superfície da água?
    (c) Qual é a profundidade da piscina?
    (d) Qual é o módulo da velocidade média da bola?
    (e) Supondo a piscina esvaziada, se a bola for lançada (com algum v_0) de modo que atinja o fundo em 2,0\\ \mathrm{s}, qual deve ser essa velocidade inicial (indicar direção)?

Passo 2

Relembrando as fórmulas básicas de cinemática (movimento unidimensional com aceleração constante):
  • Equação da posição (tomando para baixo sentido positivo):
y = y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde y é a posição final, y_0 a posição inicial, v_0 a velocidade inicial, a a aceleração (aqui a=g), e t o tempo.
  • Equação da velocidade:
v = v_0 + a t.
  • Energia ou combinação das equações também dá a relação de velocidade ao cair de uma altura h:
v^2 = v_0^2 + 2 a h.
Aqui, como a bola é largada com v_0=0 e a=g, essa última relação é muito prática para achar a velocidade ao atingir a superfície: ela reduz a conta porque elimina o tempo.
Vou aplicar essas fórmulas ao problema.

Passo 3

(a) Velocidade ao atingir a superfície da água.
Usamos a relação de conservação cinemática para queda livre a partir do repouso:
v^2 = v_0^2 + 2 g h.
Como v_0=0 e h=5,5\\ \mathrm{m},
v^2 = 2 g h = 2\cdot 9,8\cdot 5,5 = 107,8.
Logo
v = \sqrt{107,8} \approx 10,4\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade com que a bola atinge a superfície da água é \mathbf{10,4\\ \mathrm{m/s}} (para baixo).

Passo 4

(b) Intervalo de tempo até atingir a superfície da água.
Usamos a equação da posição com v_0=0:
h = \tfrac{1}{2} g t_{\text{ar}}^2.
Resolva para t_{\text{ar}}:
t_{\text{ar}} = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 5,5}{9,8}} = \sqrt{1,12244898\ldots}\approx 1,06\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo de queda no ar até a superfície da água é \mathbf{1,06\\ \mathrm{s}}.

Passo 5

(c) Profundidade da piscina.
O tempo total até o fundo é 2,0\\ \mathrm{s}. Como o tempo no ar é t_{\text{ar}}=1,06\\ \mathrm{s}, o tempo que a bola passa submersa (movimento com velocidade constante igual à velocidade de impacto) é
t_{\text{água}} = 2,0 - t_{\text{ar}} = 2,0 - 1,06 = 0,94\\ \mathrm{s}.á
Como a velocidade dentro d’água é constante e igual a v=10,4\\ \mathrm{m/s}, a profundidade d é
d = v \, t_{\text{água}} = 10,3866\ldots \times 0,9405\ldots \approx 9,77\\ \mathrm{m}.á
(Usei a velocidade mais precisa v\approx 10,3866\\ \mathrm{m/s} e o tempo t_{\text{água}}\approx 0,9405\\ \mathrm{s}á nos cálculos intermediários; o resultado arredondado é \mathbf{9,77\\ \mathrm{m}}.)

Passo 6

(d) Módulo da velocidade média da bola.
A velocidade média vetorial é o deslocamento total dividido pelo tempo total. Como o movimento é unidimensional e sempre para baixo, o módulo da velocidade média é simplesmente
\bar{v} = \dfrac{\text{deslocamento total}}{\text{tempo total}} = \dfrac{5,5 + d}{2,0}.
Substituindo d\approx 9,77\\ \mathrm{m},
\bar{v} = \dfrac{5,5 + 9,77}{2,0} = \dfrac{15,27}{2,0} \approx 7,63\\ \mathrm{m/s}.
Portanto o módulo da velocidade média é \mathbf{7,63\\ \mathrm{m/s}} (para baixo).

Passo 7

(e) Piscina esvaziada: encontrar a velocidade inicial necessária para que a bola atinja o fundo em 2,0\\ \mathrm{s}.
Agora a bola percorre toda a distância entre o trampolim e o fundo no ar. Essa distância é
S = 5,5 + d \approx 15,27\\ \mathrm{m}.
Queremos uma velocidade inicial v_0 (pode ser para baixo ou para cima) tal que, sob aceleração g, a bola atinja S em t=2,0\\ \mathrm{s}. Usamos a equação da posição:
S = v_0 t + \tfrac{1}{2} g t^2.
Rearranjando para v_0:
v_0 = \dfrac{S - \tfrac{1}{2} g t^2}{t}.
Substituindo S\approx 15,27\\ \mathrm{m}, t=2,0\\ \mathrm{s}, \tfrac{1}{2} g t^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 9,8\cdot 4 = 19,6\\ \mathrm{m}:
v_0 = \dfrac{15,27 - 19,6}{2,0} = \dfrac{-4,33}{2,0} \approx -2,17\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo (já que tomamos o sentido para baixo como positivo) indica que a velocidade inicial deve ser para cima. Portanto a bola deve ser lançada para cima com velocidade de módulo \mathbf{2,17\\ \mathrm{m/s}} para que ela atinja o fundo exatamente em 2,0\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) 10,4\\ \mathrm{m/s} (para baixo)
(b) 1,06\\ \mathrm{s}
(c) 9,77\\ \mathrm{m}
(d) 7,63\\ \mathrm{m/s} (módulo, direção para baixo)
(e) velocidade inicial 2,17\\ \mathrm{m/s} para cima

Exercícios relacionados