Uma pedra é largada de uma ponte a 50 m acima do nível da água. Uma outra é lançada, da mesma posição, verticalmente para baixo 1,5 \mathrm{~s} após a primeira pedra ter sido largada. Ambas atingem a água ao mesmo tempo. Qual foi o módulo da velocidade inicial da segunda pedra?

Passo 1

O enunciado pede: qual é o módulo da velocidade inicial da segunda pedra (lançada verticalmente para baixo) sabendo que ambas (a primeira largada, a segunda lançada 1,5 s depois) partem da mesma altura e atingem a água ao mesmo tempo.
Informações dadas:
  • Altura da ponte em relação à água: h=50\\ \mathrm{m}.
  • Primeira pedra: largada (ou seja, velocidade inicial igual a zero).
  • Segunda pedra: lançada verticalmente para baixo 1{,}5\\ \mathrm{s} após a primeira; sua velocidade inicial tem módulo desconhecido v_0 (procuramos esse v_0).
  • Ambas atingem a água ao mesmo tempo.
  • Aceleração da gravidade usada: g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (direção para baixo).

Passo 2

Relembrando a fórmula básica do movimento uniformemente acelerado (MUA) na vertical que vamos usar:
s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2.
O que cada símbolo significa:
  • s: deslocamento (distância vertical percorrida desde o ponto de lançamento até o impacto). Aqui s=h=50\\ \mathrm{m}.
  • v_0: velocidade inicial (no sentido escolhido; para quem lança para baixo será positiva usando convenção abaixo).
  • t: tempo de queda (tempo entre o lançamento da pedra e o impacto).
  • a: aceleração (no caso, a=g se tomarmos o sentido para baixo como positivo).
Escolho a convenção: sentido para baixo positivo (evita sinais confusos). Assim a=g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Calcular o tempo de queda da primeira pedra (a que foi largada, v_0=0). Aplicando a fórmula com v_0=0 e s=h:
h = 0\cdot t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{1}{2} g t_1^2.
Isolando t_1:
t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}.
Substituindo h=50 e g=9{,}8:
t_1 = \sqrt{\frac{2\cdot 50}{9{,}8}} = \sqrt{\frac{100}{9{,}8}}.
Calculando numericamente:
t_1 \approx 3{,}193743884\\ \mathrm{s}.

Passo 4

O tempo de queda da segunda pedra é menor, pois ela é lançada 1{,}5\\ \mathrm{s} depois. Portanto o tempo que a segunda pedra leva até a água é
t_2 = t_1 - 1{,}5.
Substituindo o t_1 calculado:
t_2 \approx 3{,}193743884 - 1{,}5 = 1{,}693743884\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Escrever a equação do movimento para a segunda pedra (agora v_0 não é zero):
h = v_0 t_2 + \frac{1}{2} g t_2^2.
Queremos isolar v_0. Rearranjando:
v_0 = \frac{h - \tfrac{1}{2} g t_2^2}{t_2}.
Aqui usamos a mesma convenção (para baixo positivo), e v_0 resultante será positiva, significando que a pedra foi lançada para baixo — o que faz sentido.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos e calculamos passo a passo.
Primeiro calcule \tfrac{1}{2} g t_2^2:
t_2^2 \approx (1{,}693743884)^2 \approx 2{,}86876829,
\tfrac{1}{2} g t_2^2 = 4{,}9 \times 2{,}86876829 \approx 14{,}05696462\\ \mathrm{m}.
Agora calcule o numerador h - \tfrac{1}{2} g t_2^2:
50 - 14{,}05696462 \approx 35{,}94303538\\ \mathrm{m}.
Finalmente divida pelo tempo t_2:
v_0 \approx \frac{35{,}94303538}{1{,}693743884} \approx 21{,}221\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Interpretação e arredondamento: o módulo da velocidade inicial da segunda pedra (velocidade com que foi lançada para baixo) é aproximadamente 21{,}22\\ \mathrm{m/s} (arredondando para duas casas decimais). Respirei fundo — dá para memorizar esse tipo de procedimento: achar o tempo do 1º, deduzir o tempo do 2º, e usar a equação do MUA para encontrar v_0.

Resposta

21{,}22\\ \mathrm{m/s}

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