Um balão sobe verticalmente a partir do solo a uma velocidade de 2 m / s e é observado por uma criança distante 100 m do ponto de subida no solo. Determine a velocidade com que o balão se afasta da criança no momento em que a distância entre eles é de 300 m .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um balão que está subindo do chão a uma velocidade de 2 , m/s. Uma criança está observando esse balão a 100 metros de distância do ponto onde o balão começou a subir. A pergunta é: Qual a velocidade com que o balão está se afastando da criança quando a distância entre eles é de 300 metros? Para resolver isso, vamos usar um conceito de Cinemática chamado Taxas Relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a situação para entender melhor. Imagina um triângulo retângulo:
  • Base: 100 metros (distância horizontal entre a criança e o ponto de subida do balão).
  • Altura: a altura do balão acima do solo, que está aumentando a 2 , m/s.
  • Hipotenusa: a distância direta entre a criança e o balão, que queremos analisar.

Passo 3

Vamos chamar:
  • $ y $ de altura do balão em metros.
  • $ s $ da distância entre a criança e o balão em metros.
  • $ \frac{dy}{dt} $ da velocidade de subida do balão, que é y .
  • $ \frac{ds}{dt} $ da velocidade com que o balão está se afastando da criança, que é o que queremos encontrar.

Passo 4

Pela Teorema de Pitágoras, sabemos que:
s^2 = 100^2 + y^2
Queremos encontrar como $ s $ muda com o tempo, ou seja, $ \frac{ds}{dt} $.

Passo 5

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo $ t $:
t
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar $ s^2 $ e $ y^2 $.

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 2:
s cdot dsdt = y cdot dydt
E isolando $ \frac{ds}{dt} $:
dsdt

Passo 7

Sabemos que quando $ s = 300 , m $, precisamos achar $ y $. Voltando à equação de Pitágoras:
s = 300 , m

Passo 8

Agora, substituímos os valores na equação de $ \frac{ds}{dt} $:
dsdt

Resposta

A velocidade com que o balão está se afastando da criança é aproximadamente 1,89 m/s.

Exercícios relacionados