Um balão sobe verticalmente a partir do solo a uma velocidade de
e é observado por uma criança distante 100 m do ponto de subida no solo. Determine a velocidade com que o balão se afasta da criança no momento em que a distância entre eles é de 300 m .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um balão que está subindo do chão a uma velocidade de
. Uma criança está observando esse balão a 100 metros de distância do ponto onde o balão começou a subir. A pergunta é: Qual a velocidade com que o balão está se afastando da criança quando a distância entre eles é de 300 metros? Para resolver isso, vamos usar um conceito de Cinemática chamado Taxas Relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a situação para entender melhor. Imagina um triângulo retângulo:
- Base: 100 metros (distância horizontal entre a criança e o ponto de subida do balão).
- Altura: a altura do balão acima do solo, que está aumentando a
. - Hipotenusa: a distância direta entre a criança e o balão, que queremos analisar.
Passo 3
Vamos chamar:
- $ y $ de altura do balão em metros.
- $ s $ da distância entre a criança e o balão em metros.
- $ \frac{dy}{dt} $ da velocidade de subida do balão, que é
. - $ \frac{ds}{dt} $ da velocidade com que o balão está se afastando da criança, que é o que queremos encontrar.
Passo 4
Pela Teorema de Pitágoras, sabemos que:
Queremos encontrar como $ s $ muda com o tempo, ou seja, $ \frac{ds}{dt} $.
Passo 5
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo $ t $:
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar $ s^2 $ e $ y^2 $.
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 2:
E isolando $ \frac{ds}{dt} $:
Passo 7
Sabemos que quando $ s = 300 , m $, precisamos achar $ y $. Voltando à equação de Pitágoras:
Passo 8
Agora, substituímos os valores na equação de $ \frac{ds}{dt} $:
Resposta
A velocidade com que o balão está se afastando da criança é aproximadamente 1,89 m/s.