Seja f(x)=x e^2 x, forall x in R.
(a) Estude o sinal da derivada f^prime(x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função $ f(x) = x e^{2x} $ e pede para estudarmos o sinal da sua derivada, ou seja, $ f’(x) $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas e análise de sinais. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e então determinar onde essa derivada é positiva, negativa ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada $ f’(x) $. A função $ f(x) = x e^{2x} $ é um produto de duas funções: $ u(x) = x $ e $ v(x) = e^{2x} $. Para derivar um produto, usamos a Regra do Produto, que diz:
f'(x)
Aplicando isso:
f(x) = x e^2x
Sabemos que $ \frac{d}{dx}(x) = 1 $ e $ \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2 e^{2x} $ (pela regra da cadeia). Então:
u(x) = x

Passo 3

Agora que temos a derivada $ f’(x) = e^{2x}(1 + 2x) $, queremos saber onde ela é positiva, negativa ou zero. Primeiro, vamos encontrar onde $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = e^2x(1 + 2x)
Sabemos que $ e^{2x} $ nunca é zero para nenhum valor real de $ x $, então a única possibilidade é:
f'(x) = 0

Passo 4

Vamos agora analisar o sinal de $ f’(x) $ em relação a $ x = -\frac{1}{2} $. Dividimos a reta real em dois intervalos:
  1. Para $ x < -\frac{1}{2} $:
    • $ 1 + 2x < 0 $ (porque, por exemplo, se $ x = -1 $, $ 1 + 2(-1) = -1 $)
    • $ e^{2x} > 0 $ sempre
    Então, $ f’(x) = positivo \times negativo = negativo $.
  2. Para $ x > -\frac{1}{2} $:
    • $ 1 + 2x > 0 $ (por exemplo, se $ x = 0 $, $ 1 + 2(0) = 1 $)
    • $ e^{2x} > 0 $ sempre
    Assim, $ f’(x) = positivo \times positivo = positivo $.

Resposta

A derivada $ f’(x) $ é negativa para $ x < -\frac{1}{2} $ e positiva para $ x > -\frac{1}{2} $.

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