Considere f(x)=e^x^3+2 x, x in R, podemos dizer que a f possui inversa diferenciável ? Por quê? Em caso afirmativo, calcule (f^-1)^prime(1). Justifique muito bem!!

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x)=e^x^3+2x, xin R admite inversa diferenciável e, em caso afirmativo, calcular (f^-1)'(1). Vamos usar a teoria de funções estritamente monotônicas e a fórmula da derivada da inversa: se f é bijetora e f' não anula, então f^-1 existe e satisfaz (f^-1)'(y)=dfrac1f'(x) em y=f(x).

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxe^x^3+2x=e^x^3+2xcdot(3x^2+2)
Como e^x^3+2x>0 para todo x e 3x^2+2>0 também, temos f'(x)>0 em R. Logo, f é estritamente crescente e contínua, garantindo existência de inversa diferenciável.

Passo 3

Para calcular (f^-1)'(1), primeiro achamos x0 tal que f(x0)=1. Temos
1=e^x0^3+2x0implies x0^3+2x0=0implies x0(x0^2+2)=0implies x0=0

Passo 4

Aplicando a fórmula da derivada da inversa em y=1=f(0):
(f^-1)'(1)=1f'(0)
Como f'(0)=e^0^3+2cdot0(3cdot0^2+2)=1cdot2=2, segue
(f^-1)'(1)=12

Resposta

12

Exercícios relacionados