Considere
, podemos dizer que a
possui inversa diferenciável ? Por quê? Em caso afirmativo, calcule
. Justifique muito bem!!
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
admite inversa diferenciável e, em caso afirmativo, calcular
. Vamos usar a teoria de funções estritamente monotônicas e a fórmula da derivada da inversa: se
é bijetora e
não anula, então
existe e satisfaz
em
.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Como
para todo
e
também, temos
em
. Logo,
é estritamente crescente e contínua, garantindo existência de inversa diferenciável.
Passo 3
Para calcular
, primeiro achamos
tal que
. Temos
Passo 4
Aplicando a fórmula da derivada da inversa em
:
Como
segue